3.2.1 二维变换
点的变换可以通过矩阵运算来实现，令
T
a c
b d
称T为变换矩阵，有：
x'
y' x
y
a c
b d
ax
cy
bx dy
这里[x’,y’]为变换后点的坐标，[x,y]为变换前点的 坐标，变换矩阵中a,b,c,d的不同取值，可以实现各 种不同变换，从而达到对图形进行变换的目的 。Biblioteka • 二维基本变换dd
dd
圆弧的生成算法
典型算法有扫描转换算法、中点算法及Bresenham算法
y=-x
y y=x
M P P1
(x,y)
P2
椭圆的生成算法
p0 (0, b)
F F y x
F
y
F x
曲线的生成算法
包容盒计算
包围盒(大多采用矩形包容盒，也有球包容盒及其它包容盒)计
算是对图形元素进行求交、编辑和拾取的前提。
如图所示，画出的直线实际上是阶梯状，并不光滑。 因为计算机屏幕是离散象素组成，不是连续信号。象 素是有面积的，不可能面积为零。
线段反走样算法：将线段处理为有宽度的狭长矩形
抖动反走样算法：高分辨率计算，低分辨率显示
3.2 图形变换
• 图形变换的数学基础
– 向量运算 – 矩阵运算
• 二维变换 • 三维变换
iv）检测相邻点与边界和填充色是否相同，均不 相同则填充该点；
v）重复步iv）直至所有象素点被填充。
该算法直接基于象素算法，不必求交。
表示边界点
裁剪算法
确定图形中哪些部分落在显示区之内,以便显示落在显示区内的那 部分图形。这个选择过程称为裁剪 只有窗口内的物体才能显示出来。因此，窗口之外的物体都是不 可见的，可以不参加标准化转换及随后的显示操作，节约处理时 间。裁剪（clipping）是裁去窗口之外物体的一种操作。
因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同， 则变换的结果亦不同，如图所示。
3.2.2 三维图形变换
三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换 的原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换 成新的齐次坐标点(x’,y’,z’,1)，即
x' y' z' 1 x y z 1 T
其中T为三维基本(齐次)变换矩阵：
1 Tmx 0
0 -1
对原点的对称变换:
-1 0
Tmo
0
- 1
旋转变换
在二维空间里，我们作如 下规定：图形的旋转是指绕 坐标系原点旋转θ角，且逆 时针为正，顺时针为负，变 换矩阵为
cos sin
Tr sin
cos
x' Rcos Rcoscos Rsinsin xcos ysin y' Rsin Rsincos Rcossin ycos xsin
SetPixel (int x, int y, color c);
计算机图形学的研究内容
探讨的主要问题是用计算机进行图形信息的表达、输入、存储、显 示、输出、检索及图形运算等。具体地说，大致有以下内容：
(1)图形的输入：研究如何把要处理的图形输入到计算机内，以便 让计算机进行各种处理。
(2)产生图形的算法：研究在显示器或其它输出设备上产生图形的 各种算法；
但有些变换仅用一次基本变换是不够的，必须由两 次或多次基本变换组合才能实现。这种由多种基本 变换组合而成的变换称之为组合变换，相应的变换 矩阵叫做组合变换矩阵。
设坐标P经过n次变换T1,T2,…,Tn到P*，则变换结果 为： P* = PT1T2…Tn = PT
式中，T = T1T2…Tn 为总的变换矩阵，组合变换的 目的是将一个变换序列表示为一个变换矩阵。
区域填充算法
区域填充即给出一个区域的边界，要求对边界范围内的所有象素 单元赋予指定的颜色代码。区域填充中最常用的是多边形填色
填色算法分为两大类：扫描线算法和种子点算法
（1）扫描线填色（Scan-Line Filling）算法
这类算法建立在多边形边边界的矢量形 式数据之上，可用于程序填色，也可用 交互填色。
复杂组合图形的包容盒则可以在简单图形的包容盒基础上 进行比较得到。
求交算法
求交计算是常用算法。区域填充时要求线段交点， 消隐算法需要直线和平面多边形的求交等。
求交运算比较复杂，为减小计算量，求交计算前， 先用凸包进行粗略比较，先排除显然不相交情形。
求交计算是CAD系统的重要部分，其准确性与效率 直接影响CAD系统的可靠性与实用性。
图形的具体应用范围很广，但是从基本的处理技术看只有两类：
一类是线条，如工程图、地图、曲线图表等；
另一类是明暗图，与照片相似。为了生成图形，首先要有原 始数据或数学模型，如工程人员构思的机械零件模型，飞机 的总体方案模型，地形航测的判读数据等等。这些数字化的 输入经过计算机处理后变成图形输出。
在此仅从CAD需求角度来介绍相关研究内容： 工程产品设计中的二维工程图、三维实体模型的显示 本章主要介绍：二维基本图形生成原理、图形变换原理、图 形显示流程
（2）种子填色（Seed Filling）算法
这类算法建立在多边形边界的图象形 式数据之上，并需提供多边形界内一 点的坐标，一般只能用于人机交互填 色，而难以用于程序填色。
表示内点
从多边形内部点出发，沿四个方向（或八个方向）
扩散搜索区域内所有待填充的象素点，适用于交 互绘图。其算法步骤：
i）多边形边界给特定颜色； ii）内部填充颜色给另外的颜色； iii）从内部点 ( x, y ) 开始，检测该点与边界和 填充色是否相同，均不相同则填充该点；
3. 计算机图形学基础
3.1 基本图形的生成
简单图形的生成 区域填充和剖面线 裁剪
3.2 图形变换
二维变换 三维变换 投影变换
3.3 图形显示流程
显示器显示原理
常规显示器上的图形由荧光屏的点阵组 成，电子束按行列次序扫描点矩阵，并 由显示内容来控制所扫描的点是否发亮， 每扫描一遍称为一帧
荧光屏上画面的每一点称为一个象素（Pixel）。每个象素都对 应于Buffer中的一个存储单元，里面存放着该象素的显示亮度值。 象素的亮度值控制电子束对荧光屏的轰击强度，象素在帧缓存 寄存器中的位置编码控制电子束的偏转位置。 分辨率（Resolution）是光栅扫描显示设备最重要的指标 显示器用于显示字符、图形（触摸显示屏还可作为输入设备）
(3)图形的数据结构：研究图形在计算机内的表示方法； (4)图形的变换：研究图形的各种几何变换； (5)图形运算：包括图形的分解、组合等； (6)图形语言：各种图形处理功能的语言; (7)图形软件的标准化：图形软件与设备无关及接口兼容性。
总的来说，计算机图形学应该解决和研究下列一些问题： (1)图形表示和处理的数学方法及其实现的计算机算法； (2)设计一个好的图形软件系统； (3)设计与实际应用相结合的图形应用系统。
而这里的cy，bx均非常量，因此用原来的2×2的变 换矩阵是无法实现平移变换。
将变换矩阵增加一行一列，实 施对点进行平移变换
1 0 0
x
y 1 x
y
1
0
1
0
xl
ym
1
l m 1
齐次坐标
在平移变换中，我们将[x y]扩充为[x y 1] 实际上 是由二维向量变为三维向量。
这种用三维向量表示二维向量的方法叫做齐次坐标 法。进一步推广，用n+1维向量表示n维向量的方法 称之为齐次坐标法。
剖面线算法
剖面线是一组等距的平行线，用填充算法 速度慢，直接画线更快，算法步骤：
i) 按多边形的初始条件及剖面线的角度和 间距，计算剖面线的范围和数量；
ii) 求剖面线与轮廓边的相交位置； iii）对剖面线上的交点进行排序，并按奇偶 规则绘制有效剖面线段。 简化算法：跳过顶点处交点判断
图形反走样算法
– 比例变换 – 对称变换 – 错切变换 – 旋转变换 – 平移变换
• 二维组合变换
比例变换
在变换矩阵 阵
T
a c
中db， 令b=c=0，则为比例变换矩
a 0 Ts 0 d
a, d 0
其中a，d分别为x，y方向上的比例因子
对称变换
对坐标轴的对称变换
1.对y轴对称:
-1
Tmy
0
0 1
2.对x轴对称:
绕任意点旋转变换
平面图形绕任意点C(x,y)旋转θ角，需要通过以下几 个步骤来实现： (1)将旋转中心平移到原点; (2)将图形绕坐标系原点旋转θ角; (3)将旋转中心平移回到原来位置。
组合变换顺序对图形的影响
复杂变换是通过基本变换的组合而成的，由于矩阵 的乘法不适用于交换律，即：
[A][B] ≠[B][A]
在w=1的平面上有点P1(x,y,1),则当w 由0变化到无穷时，齐次坐标 Pw(xw,yw,w) 将处在由OP1定义的射 线OQ上。二维坐标则是该射线在w＝ 1平面上的交点, 有
x xw ,y yw
w
w
二维齐次变换表示了在w=1平面上点的坐标变换，即P1到 P1*的坐标变换
齐次坐标的特点
1. 当w=0时，齐次坐标可用来表示无穷远的点
求交问题可以分为两类 ： 求交点：线线求交、线面求交 求交线：面面求交
注意：在数学上两个浮点数可以严格相等，但计算机表示的浮点数有误差， 难以绝对相等，相应地，求交运算中要引进容差。 i）当两个点的坐标值充分接近时，即其距离充分近时，就被认为是重合的 点，一般取∆ =10-6或更小的数。 ii）当两条直线的夹角接近0度（一般取∆ =10-6或更小）时，就被认为 是两条平行线。 iii）同样，共线、共面、平行面等的判断也是近似的。
对字母T进行旋转变换（旋 转60°)