F Fxy b h Fz a
z mz(F) o
+ 逆时针向，－顺时针向 逆时针向，－ ，－顺时针向
mz(F) = 0 的情况： 的情况：
r Fxy = 0
h= 0
平行于z轴 力F 平行于 轴 通过z轴 力F 通过 轴
力F与z轴共面 与 轴共面
p.3 p.3
理论力学
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一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
（代数和） 代数和）
p.6 p.6
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二、力偶及其性质 (Couple and Its Property) 1.力偶与力偶矩(Couple and Torque) 力偶与力偶矩
力偶－－两大小相等的反向平行力 两大小相等的反向平行力 力偶
o F’ B d
m F A
力偶没有合力，不能用一个力来代替 也不能用一个力 力偶没有合力 不能用一个力来代替，也不能用一个力 不能用一个力来代替 与之平衡。它是力学中的又一基本要素，其作用 它是力学中的又一基本要素 其作用使物体 与之平衡 它是力学中的又一基本要素 其作用使物体 发生转动，以力偶矩表示 以力偶矩表示。 发生转动 以力偶矩表示
r m y ( F ) = zX − xZ
r m z ( F ) = xY − yX
r ∴ m x ( F ) = yZ − zY
r r 2 r 2 r 2 力对点之矩矢的大小： 力对点之矩矢的大小 m o ( F ) = [ m x ( F )] + [ m y ( F )] + [ m z ( F )] r r r r mx ( F ) 力对点之矩矢的方向： cos[mo ( F ), i ] = r r 力对点之矩矢的方向 mo ( F ) r r r r my ( F ) r r r r m (F ) cos[mo ( F ), j ] = r r cos[mo ( F ), k ] = r z r mo ( F ) mo ( F )
F1 o
F2
z = F3 o
R
z
若力系可合成为一合力，则其合力对点（ 若力系可合成为一合力 则其合力对点（轴）之矩等于力 则其合力对点 系的各个力对同点（ 之矩的矢量（代数） 系的各个力对同点（轴）之矩的矢量（代数）和。 平面力系的情况下： 平面力系的情况下： r r m o ( R) = ∑ m o ( F )
B
F α A
mo(F)
r d o
r r r r m o ( F ) = r × F = F ⋅ r sin α = Fd = 2 A∆OAB
方向： ⊥∆ ⊥∆OAB 按右手法则确定 方向 力对点之矩的矢量与矩心位置有关 是个定位矢量。 力对点之矩的矢量与矩心位置有关，是个定位矢量 矩心位置有关 是个定位矢量 平面内的力对点之矩为代数量 平面内的力对点之矩为代数量 r mO ( F ) = ± F ⋅ d + 逆时针向
p.5 p.5
理论力学
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一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
4. 合力矩定理
r r r r r r r r mo ( R) = m o ( F1 ) + m o ( F2 ) + L + m o ( Fn ) r r = ∑ mo ( F ) r r r r m z ( R) = m z ( F1 ) + m z ( F2 ) + L + m z ( Fn ) r = ∑ m z (F )
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ห้องสมุดไป่ตู้ 理论力学
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一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
力对轴之矩的解析表达式： 力对轴之矩的解析表达式：
r r r r r r r r mo ( F ) = m x ( F )i + m y ( F ) j + m z ( F )k r r r r r r r r r r mo ( F ) = r × F = ( xi + yj + zk ) × ( Xi + Yj + Zk ) r r r = ( yZ − zY )i + ( zX − xZ ) j + ( xY − yX )k
合力偶矩的大小 合力偶矩矢的方向
r r cos( M , i ) =
M = ( ∑ m x ) 2 + (∑ m y ) 2 + ( ∑ m z ) 2
∑ mx
M
r r cos( M , j ) =
∑ my
M
r r cos( M , k ) =
∑ mz
M
(2) 平衡条件
r r M = 0 →∑m = 0
二、力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
p.10 p.10
3. 力对点之矩与力对轴之矩的关系
2 A∆oab = 2 A∆OAB ⋅ cos γ
r r r m z ( F ) = mo ( F ) cos γ
B F Fxy b A
[mo(F)]z
z
mo(F)
a
γ
o
m z ( F ) = [m o ( F )]z
力对点之矩的矢量在通过该点的轴上的投影等于 力对点之矩的矢量 通过该点的轴上的投影等于 通过该点的轴 力对该轴之矩。 力对该轴之矩
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二、力偶及其性质 (Couple and Its Property) 3. 力偶系的合成和平衡(Composition and Equilibrium of Couple
System)
(1) 合成
得一合力偶 一合力偶
M x = ∑ mx
r r M = ∑m
M y = ∑ my M z = ∑ mz
理论力学
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力矩和力偶理论
(Moment of Force and Couple)
p.1 p.1
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一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
1. 力对点之矩
大小： 大小
为矩心， 力F，O为矩心，矢径 ， 为矩心 矢径r r r r r mo ( F ) = r × F
r r r r m ( F , F ′) = mo ( F ) + m o ( F ′) = F OA − F ′OB = ± Fd
m + 逆时针 – 顺时针
力偶对任一点的矩等于其力偶矩本身。 力偶对任一点的矩等于其力偶矩本身
空间力偶的力偶矩是个矢量， 表示。 空间力偶的力偶矩是个矢量，以m表示。矢量的线段表示 表示 力偶作用面的方位，矢量的长短代表力偶矩的大小，矢量 矢量的长短代表力偶矩的大小 力偶作用面的方位 矢量的长短代表力偶矩的大小 矢量 的箭头以右手法则表示力偶的转向 这就是力偶的三要素 力偶的转向。这就是力偶的三要素。 的箭头以右手法则表示力偶的转向 这就是力偶的三要素
∑ mx = 0
∑ my = 0
∑ mz = 0
三个方程，解三个未知量。 三个方程，解三个未知量。 一个方程，解一个未知量。 一个方程，解一个未知量。
p.9 p.9
平面力偶系的平衡条件
∑m = 0
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本章主要内容
一、力矩和合力矩定理
1. 力对点之矩 2. 力对轴之矩 3. 力对点之矩和力对轴之矩的关系 4. 合力矩定理
p.7 p.7
理论力学
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二、力偶及其性质 (Couple and Its Property) 2. 力偶等效定理(Equivalent Theorem of Couple)
结论：空间两力偶的等效条件是 它们的力偶矩大小相等、 结论 空间两力偶的等效条件是：它们的力偶矩大小相等、 空间两力偶的等效条件 力偶矩大小相等 转向相同、作用面的方位也相同。 转向相同、作用面的方位也相同。 可以将力偶在其作用面内任意移转， 性质 1 ：可以将力偶在其作用面内任意移转，而不改变力偶 对刚体的作用。 对刚体的作用。 只要保持力偶矩不变、 性质 2 ：只要保持力偶矩不变、可以同时改变力偶的力和力 偶臂，则力偶对刚体的作用并不改变。 偶臂，则力偶对刚体的作用并不改变。 可以将力偶在平行平面内移动， 性质 3 ：可以将力偶在平行平面内移动，而不改变对刚体的 作用。 作用。 两力偶的等效条件是：它们的力偶矩矢量相等 力偶矩矢量相等。 两力偶的等效条件 力偶矩矢量相等 力偶矩矢是个自由矢量 自由矢量。 力偶矩矢 自由矢量
－顺时针向
p.2 p.2
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一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
2. 力对轴之矩
力对轴之矩等于力在垂直于该轴 力对轴之矩等于力在垂直于该轴 的平面上的投影对轴和平面的交 点之矩
r r m z ( F ) = m o ( Fxy ) = ± Fxy ⋅ h = ±2 A∆oab