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R=(n-1)/n
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第9章 差错控制编码
9.2.2 行列监督码 行列监督码又称水平垂直一致监督码或 二维奇偶监督码， 二维奇偶监督码，有时还被称为矩阵码。 有时还被称为矩阵码。
1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0
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（5）按照纠正错误的类型不同， 按照纠正错误的类型不同，可以将 它分为纠正随机错误码和纠正突发错误码。 它分为纠正随机错误码和纠正突发错误码。 随着数字通信系统的发展， 随着数字通信系统的发展，可以将信道 编码器和调制器统一起来综合设计， 编码器和调制器统一起来综合设计，这就是 所谓的网格编码调制。 所谓的网格编码调制。 9.1.4 纠错编码的基本原理 1、分组码 表示为（ 表示为（n，k）, n表示码组的长度； 表示码组的长度； k 信息的长度； 信息的长度；r = n-k表示监督位长度。 表示监督位长度。 几个概念： 几个概念：
1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
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二维奇偶监督码适于检测突发错码。 二维奇偶监督码适于检测突发错码。二 维奇偶监督码不仅可用来检错， 维奇偶监督码不仅可用来检错，还可用来纠 正一些错码。 正一些错码。 9.2.3 恒比码 恒比码又称等重码， 恒比码又称等重码，该码的码字中1和0 的位数保持恒定的比例。 的位数保持恒定的比例。具体情况见表 9.2.1。 目前我国电传通信中普遍采用3：2码， 国际上通用的ARQ电报通信系统中， 电报通信系统中，采用 3：4码即7中取3码。 2009-5-15 通信原理
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9.3
9.3.1 基本概念
线性分组码
分组码是一组固定长度的码组， 分组码是一组固定长度的码组，可表 示为（ 示为（n , k），通常它用于前向纠错 ），通常它用于前向纠错。 通常它用于前向纠错。在 编码时， 编码时，k个信息位被编为n位码组长度， 位码组长度， 而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠 错。 这样， 这样，一个k比特信息的线性分组码可 以映射到一个长度为n码组上。 码组上。
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2、前向纠错 发送端经信道编码后可以发出具有纠错 能力的码字； 能力的码字；接收端译码后不仅可以发现错 误码， 误码，而且可以判断错误码的位置并予以自 动纠正。 动纠正。 3、混合纠错方式 混合纠错方式是前向纠错方式和检错重 发方式的结合。 发方式的结合。
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以（7，4）码为例进行分析， 码为例进行分析，可以设码 字A=[a6,a5 , a4,a3 a2,a1 ,a0]，其中[ 其中[a6,a5 , a4,a3] 为信息位， 为监督位，进而得到下 进而得到下 为信息位，[a2,a1 ,a0]为监督位， 面的方程组形式： 面的方程组形式：
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9.1.2 差错控制方式
发 可以纠正错误的码 收
(a) 前向纠错(FEC) 发 能够发现错误的码 应答信号 (b) 检错重发(ARQ) 发 可以发现和纠正错误的码 应答信号
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收
收
(c) 混合纠错检错(HEC)
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码长： 码长：码字中码元的数目； 码字中码元的数目； 码重： 码重：码字中非0数字的数目； 数字的数目； 码距： 码距 ： 两个等长码字之间对应位不同的 数目， 数目，有时也称作这两个码字的汉明距离。 有时也称作这两个码字的汉明距离。 最小码距： 最小码距 ： 在码字集合中全体码字之间 距离的最小数值。 距离的最小数值。 纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码 字之间的距离， 字之间的距离 ， 码的最小距离越大， 码的最小距离越大，说明码 字间的最小差别越大， 字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强。 抗干扰能力就越强。
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分组码的最小汉明距离为 分组码的最小汉明距离为d0 2、检错和纠错能力 （1）当码字用于检测错误时， 当码字用于检测错误时，如果要检 如果要检 测e个错误， 个错误，则 d0 ≥ e + 1； （2）当码字用于纠正错误时， 当码字用于纠正错误时，如果要纠 如果要纠 正t个错误， 个错误，则 d0 ≥ 2t + 1； （3）若码字用于纠t个错误， 个错误，同时检e个 错误时（ 错误时（e > t），则 ），则 d0≥ t + e +1。
9.2.1 奇偶监督码 可以表示成为（ 可以表示成为（n，n-1）。如果是 ）。如果是奇 如果是奇 监督码， 监督码，在附加上一个监督元以后， 在附加上一个监督元以后，码长 为n的码字中“1”的个数为奇数个； 的个数为奇数个；如果是 偶监督码， 偶监督码，在附加上一个监督元以后， 在附加上一个监督元以后，码 长为n的码字中“1”的个数为偶数个。 的个数为偶数个。 an-1+ an-2+ … + a1+ a0 = 0
1 1 1 0 1 0 0 0 T 1 1 0 1 0 1 0 ⋅ [ 0 ] = a6 a5 a 4 a3 a 2 a1 a0 1 0 1 1 0 0 1 0
上式可以记作： 上式可以记作：HAT=0T或AHT=0 ，其中
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a 6 + a 5 + a 4 + a 2 = 0 a 6 + a5 + a3 + a1 = 0 + + + =0 a 6 a 4 a3 a 0
a 6 + a 5 + a 4 = a 2 a 6 + a5 + a3 = a1 + + = a 6 a 4 a3 a 0
不难看出， 不难看出，上述（ 上述（7，4）码的最小码距 dmin＝3。
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9.1.3 纠错编码的分类 （1）按照信道编码的不同功能， 按照信道编码的不同功能，可以将 它分为检错码和纠错码。 它分为检错码和纠错码。 （2）按照信息码元和监督码元之间的检 验关系， 验关系，可以将它分为线性和非线性码。 可以将它分为线性和非线性码。 （3）按照信息码元和监督码元之间的约 束方式不同， 束方式不同，可以将它分为分组码和卷积 码。 （4）按照信息码元在编码后是否保持原 来的形式， 来的形式，可以将它分为系统码和非系统 2009-5-15 通信原理 码。
1 1 1 0 = [a6 0 1 1 1
这时Q = PT，如果在Q矩阵的左边在加上一 个k×k的单位矩阵， 的单位矩阵，就形成了一个新矩阵G：
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G = [I k
1 0 Q] = 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
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第9章
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9.1 概述 9.2 常用的几种简单分组码 9.3 线性分组码 9.4 循环码 9.5 纠正和检测突发错误的分组码 9.6 卷积码
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本章内容目的要求
• 教学要求:了解差错控制编码的基本方法和 基本原理，掌握线性分组码的一般构造原 理及汉明码、循环码、卷积码的概念。理 解ｍ序列的产生原理、性质及数字加密的 概念。 • 内容提要:差错控制的基本方式及信道编码 的概念；检错码；线性分组码；卷积码；m 序列；数字加密基本方法介绍。 • 重点：汉明码的生成矩阵、监督矩阵的计 重点 算；循环码的生成矩阵、监督矩阵的计 算。 难点： 难点：卷积码的原理。
[a
2
a2 a 1 a0
a6 1 1 1 0 a5 = 1 1 0 1 ⋅ a4 1 0 1 1 a 3
a5 a4 a3 ] ⋅ Q
a1 a0 ] = [a6
a5 a4
1 1 ] a3 ⋅ 1 0
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奇偶监督码的编码可以用软件实现， 奇偶监督码的编码可以用软件实现，也 可用硬件电路实现。 可用硬件电路实现。
编码输出 A a4 a3 a2 a1 信息组 a4 a3 a2 a1 a0 S 检错信号 M 接收码组 B b0 b1 b2 b3 b4
如果码组B无错， 无错，B＝A，则M＝0；如果 码组B有单个（ 有单个（或奇数个） 或奇数个）错误， 错误，则M＝1。 编码效率 :
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9.3.2 监督矩阵H和生成矩阵G 将（7，4）码的三个监督方程式可以重 新改写为如下形式： 新改写为如下形式：
1 ⋅ a6 + 1 ⋅ a5 + 1 ⋅ a4 + 0 ⋅ a3 + 1 ⋅ a2 + 0 ⋅ a1 + 0 ⋅ a0 = 0 1 ⋅ a6 + 1 ⋅ a5 + 0 ⋅ a4 + 1 ⋅ a3 + 0 ⋅ a2 + 1 ⋅ a1 + 0 ⋅ a0 = 0 1 ⋅ a + 0 ⋅ a + 1 ⋅ a + 1 ⋅ a + 0 ⋅ a + 0 ⋅ a + 1 ⋅ a = 0 5 4 3 2 1 0 6