尾性
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【例3.7】考察ARMA模型的自相关性
ARMA(1,1): xt0.5xt 1t0.8t
直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系 数的性质。
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样本自相关图
样本偏自相关图
显然，自相关系数和偏自相关系数拖尾
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这也是直观选择拟合模型的 常用方法之一
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所以可考虑拟合模型ARMA(1,1) 序列偏自相关图
显然，偏自相关系数拖尾。
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四、参数估计
待估参数（也称模型口径）
非中心化的ARMA(p,q)可转化为
有p+q+2个未知参数
xt
(B) (B)
t
常用估计方法：
1, ,p,1, ,q,,2
矩估计
极大似然估计 最小二乘估计
显然，除延迟1期的偏自相关系数显著大于2σ线外,其 它突然衰减为小值波动，可认为1阶截尾。
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【例3.8】
美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列
由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳
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序列自相关图
除延迟1阶在2倍标准差外，其它都在2倍标准差范围内
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例2.5续
选择合适的ARMA模型拟合1950年— 1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序 列。
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序列自相关图
显然，延迟3期后，虽自相关系数都落在2σ线内,但却逐渐 的衰减为小值波动，拖尾，平稳 。
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所以可考虑拟合模型AR(1)
序列偏自相关图
MA模型的可逆性判定
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用过去的自己，并考虑到随机干
扰或误差序列来预测自己
三、ARMA模型
1、定义 具有如下结构的模型称为自回归移动 平均模型，简记为ARMA(p,q)
xtp 0 0， 1xt q1 0 pxtpt 1t1 qtq
E(t)0， Va(tr)2,E(ts)0,st
n
t
t2 [xt
ixt1]2
i1
i1
i1
用迭代法，求得使其达最小的参数值。
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最小二乘估计的特点
最小二乘估计充分应用了每一个观察值 所提供的信息，因而它的估计精度高；
不需总体分布，便于实现，所以条件最 小二乘估计方法使用率最高。
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例2.5续
确定1950年—1998年北京市城乡居民定期 储蓄比例序列拟合模型的口径 拟合模型：AR(1) 估计方法：极大似然估计 模型口径
...
...
ˆk-1
ˆk-2
...
ˆk
1 ˆ1 ... ˆk-1
Dˆ
ˆ1
...
1
...
ˆk-2
...
...
ˆk-1 ˆk-2
...
ˆ1
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由克莱姆法则，解Yule-Walker方程组得到。
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三、模型识别 基本原则
ˆ k 拖尾
ˆkk
P阶截尾
q阶截尾
拖尾
拖尾
拖尾
选择模型 AR(P) MA(q)
n
Q(ˆ)t2 t1 n (xt 1xt1 pxtp1t1 qtq)2 t1
实际中最常用的参数估计方法是条件最小二乘估 计法
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条件最小二乘估计
假设条件：过去未观测到的序列值为0，即
xt 0,t0
从t而 ((B B ))xtxti t1ixt1
残差平方和方程
Q (~)n
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1、矩估计
原理
用相应阶样本自相关系数估计总体自相
关系数
1(1, ,p,1, ,q)ˆ1
pq(1, ,p,1, ,q)ˆpq
样本一阶均值估计总体均值
ˆ x
n
xi
i1
样本方差估计总体方差
n
ˆx2
1 n
n i1
(xi
2
x)
ˆ2
11ˆˆ1122

ˆp2 ˆq2
ˆx2
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ARMA模型相关性特征：
模型 AR(P) MA(q) ARMA(p,q)
自相关系数 偏自相关系数
拖尾
P阶截尾
q阶截尾
拖尾
拖尾
拖尾
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3.3 平稳序列的建模
建模步骤 模型识别 参数估计 模型检验 模型优化
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一、建模步骤
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
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作业
P98 习题三 12
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42
谢谢观赏
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自相关系数与自协方差的关系方程
矩估计
1
1 0
(1 1)(111) 112 211
2 11
ˆ1ˆˆ12 ,
c
ˆ1
c24,c2 2
c
c24,c2 2
,
c1112ˆ21ˆ2
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矩估计的特点：
优点 估计思想简单直观 不需要假设总体分布 计算量小（低阶模型场合）
缺点 信息浪费严重 只依赖p+q个样本自相关系数信息，其他信 息都被忽略 估计精度较差
特别当φ0=0 时，称为中心化ARMA(p,q)模型
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系数多项式
引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型 可简记为
(B)xt (B)t
其中p阶自回归系数多项式：
(B ) 1 1 B 2 B 2 p B p
q阶移动平均系数多项式：
(B ) 1 1 B 2 B 2 q B q
第三章 平稳时间序列分析3
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上次课内容回顾
一、平稳AR模型的统计性质
均值，方差，自协方差函数，自相关系数的拖尾性及偏自相关 系数的p阶截尾性
二、 ARMA模型之MA模型 q阶MA模型形式：
中心化，非中心化，移动平均系数多项式 Xt=θ(B)εt
MA模型的统计性质：
均值，方差，自协方差函数，自相关系数的q阶截尾性及偏自 相关系数的拖尾性
Ik
k
jIkj
j
,
k1
j1
其中 j 0,j,jjpp,j 0,j,jjqq
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4、ARMA(p,q)模型的统计性质
均值
E(xt)11 0 p
自协方差 (k)2 GiGik
i0
自相关系数
(k) (k) (0)
G jG jk
j0
G
2 j
j0
自相关系数和偏自相关系数都具有拖
【例3.11】求MA(1)模型系数的矩估计
MA(1)模型
xt t 1t1
由MA(1)协方差函数公式
1 0 (1 12 12)211 01 112
矩估计
ˆ1
1
14ˆ12 2ˆ1
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【例3.12】求ARMA(1,1)模型系数的矩估计
ARMA(1,1)模型 xt1xt 1t1t 1
xt2.1 5 7 0 .6xt9 1t
Va(rˆ2)16.17
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例3.8续
确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的 OVERSHORTS序列拟合模型的口径 拟合模型：MA(1) 估计方法：条件最小二乘估计 模型口径
xt 4.40 3 (1 5 0.8 12B 3 )t03
何时可作为截尾？何时为拖尾？
没有绝对的标准，主要靠经验。有时也利用一 下由两种系数的近似分布推出的结论。
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样本相关系数的近似分布
Barlett定理
ˆk
~N(0,1) n
,n
Quenouille定理
ˆk
1 k~N(0,n)
,n
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何时可作为截尾？何时为拖尾？
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模型 识别
参数 估计
模
No
模型 Yes 型
检验
优
化
序 列 预 测
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二、计算样本相关系数
样本自相关系数 样本偏自相关系数
nk
(xt x)(xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
ˆkk
Dˆ k Dˆ
t 1
1 ˆ1 ... ˆ1
Dˆ k
ˆ1
...
1
...
ˆ 2
极大似然估计的特点
优点 极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信息， 因而它的估计精度高 同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性 等许多优良的统计性质
缺点 需要已知总体分布
实际中，为便于计算，很多时候看作服从多元正态分 布
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3、最小二乘估计
原理
使残差平方和达到最小的那组参数值即为最 小二乘估计值
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可转化为无穷阶MA模型
可转化为无穷阶AR模型
3、传递形式与逆转形式
传递形式
逆转形式
xt 1(B)(B) t