.
25
5. 求不定积分
e3x ex
1dx 1
.
解：
e3x ex
1 1
dx
(ex1)e(ex2 x1ex1)dx
(e2xex1)dx
1e2xexxC 2
.
26
小结
1）不定积分的定义与性质 2）熟记基本积分公式
(12)sexctaxndxs excC
(6) sinxdxcox sC
(13c) sxccoxtdxcsxcC
(7) cosxdxsixnC
.
16
例5.求 x(x2 5)dx
解
x(x2 5)dx
5
1
(x2 5x2)dx
5
1
x2dx 5x2dx
2
7
x2
10
3
x2
C
7
3
.
17
例6.求
taxn xC
.
19
练习一下
例9. 求 解: 原式 =
x4
1 x2
dx
.
(x141x)21dx
(x211)(xx221)1dx
(x21)dx1 dxx2
1x3xarcxt aC n 3
.
20
提高题目
例10.求
1 sin2 xco2sxdx
解
1
sin2
xcos2
dx x
sin2 xco2sx sin2 xco2sx dx
y x2 1 2
1
o1
x
.
12
二、不定积分的性质
.
13
[f(x)d]x f(x) df(x)dx f(x)dx
(1)、
F(x)d xF(x)C dF (x)F(x)C
求不定积分的运算与求导数运算是互逆的.
(2) k(x f)d x k f(x )dx (k 0 )
(3) [f(x ) g (x )d ] x f(x ) d x g (x ) dx
提示: 已知 f(x)sixn
求 (? )f(x) 即 (? )sixn
或由题意 f(x ) cx o C 1 s,其原函数为
f (x)dx sx i n C 1 x C 2
.
24
4. 求积分:
dx
x2(1x2பைடு நூலகம்;
提示:
(1)
x2(11 x2)(1 x2(x12 )x2)x 2
1 x2
11x2
(x)F(x) (x)F (x)
f (x) f (x) 0
(x)F(x)C即 (x)F (x)C
.
7
2.不定积分的定义
定义2 函数 f ( x)的全体原函数, 称为 f ( x) 的不定积分.
记作: f (x)dx
积分号;
若 F(x)f(x)
f ( x) 被积函数;
f (x)dx 被积表达式;
x
13
x2
dx
解
x x213dx
x33x23x1dx x2
(x33x1x2)dx
x23x3lnx1C
2
x
.
18
例7. 求 2x exdx
解
2x exdx (2e)xdx
(2e)x C 2x ex C
ln(2e)
1 ln 2
例8 求 tan2 xdx
解
tan2 xdx (se2cx1)dx
y
o
x
.
11
例4.设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等于这
点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
解 设所求曲线方程为：y f(x) ，由题意知 dy 2 x
即 f(x)2x
dx
y
f( x) 2xdx x2 C
又曲线通过点（1，2），
C1 f(x)x21 此曲线的方程为 y x2 1
1 cos2
dx x
1 sin2
dx x
sec2 xdx csc2 xdx
tan xcoxtC
.
21
疯狂操练
1. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
x2
C
提示: f(x)(ex)ex f (lnx) elnx 1 x
.
(P191题4)
22
2. 若 f (x) 是 e x 的原函数 , 则
f(xl x )n d x1xC0lnx C
提示: 已知 f(x)ex
f(x) e x C 0 f(lnx)1xC0 f(xlnx)x12Cx0
.
23
3. 若 f (x) 的导函数为 sinx, 则 f (x) 的一个原函数
是( B ).
(A ) 1sixn ; (B ) 1sixn ;
(C ) 1co x;s (D ) 1co x.s
1 dx x
lnxC
当 x0
时,
[ln(x)]
1 ( 1 ) x
1 x
1xdxln(x)C
总之, 1 xdxlnxC, x0
.
10
3.不定积分的几何意义
不定积分表示的是一族函数,从几何上看,代表一族曲线, 称为积分曲线族.
曲线: yF(x)C,(C为任意常数 )在(x0 ,y0 )的切线
的斜率为f(x0)
连续函数一定有原函数
(2)若函数f ( x) 在区间 I有一原函数 F ( x), 则 F(x)C 仍为
f ( x) 的原函数
.
6
(3)若函数f ( x) 在区间 I有一原函数 F ( x),
则 f ( x) 的 所有原函数可表示为:
F(x)C ( C为任意常数)
证 设 (x) 为 f ( x) 的任一原函数, 则
第五章 不定积分
１、不定积分的概念与性质 ２、换元积分法 ３、分部积分法 ４、有理函数的积分
.
1
§5.1 不定积分的概念与性质
1、不定积分的概念
2、不定积分的性质 3、基本积分表
.
2
一、概念
.
3
1、原函数
定义1
若在区间 I上，
F(x)f(x) dF (x)f(x)dx
则称 F(x) 为 f ( x) 在区间 I上的一个原函数.
例如
(six)n cox,s
sinx是 coxs的一个原函数.
(sixnc)cox,s
sin xc也是 coxs的原函数.
.
4
问题
(1)何种函数具有原函数? (2)函数若具有原函数,怎样写出原函数?
.
5
结论:
(1)若函数 f ( x) 在区间 I上连续, 则存在可导函数 F ( x)
使 F(x)f(x) (xI)
则 f ( x) 的不定积分为：
x 积分变量.
f(x)d xF(x)C
.
8
例1 求 x2dx
解:
1 (
x 3 )x2
3
x2dx
x3 3
C
例2.求
1
1 x
2
dx
解. (arctaxn ) 1 , 1x2
1
1 x2
dx
arcxtac.n
.
9
例3 求 1dx x
解 当 x0 时,
lnx 1
x
.
14
三、基本积分表
.
15
三、基本积分表
(1) kdxkxC
(2) xdx x1 C1 (8)se2cxdxtaxnC
1
1
(9)cs2cxdxcoxtC
( 3 ) dx lnxC
(4)
x
axdx
ax ln a
C
(5)exdx ex C
(10)
1
1 x2 dxarcxsiCn
1
(11) 1 x2dx arcxta Cn