<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A到B的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f）,②集合A的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x∈A}。
（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。
二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。
(形如：2()x f x x=) 练习1、求下列函数的定义域：⑴33y x =+-1、（1）{|536}x x x x ≥≤-≠-或或⑵y =（2）{|0}x x ≥⑶01(21)111y x x =+-++-（3）1{|220,,1}2x x x x x -≤≤≠≠≠且2.抽象函数（没有解析式的函数） 解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。
总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围；（2）在同一个题中x 不是同一个x ；（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。
（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。
例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。
解：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；（及其中x 的取值范围是[-1,1]）∴012x ≤+≤ ； （x+1的取值范围就是括号的取值范围）∴f(x)的定义域为[0,2]；（f 不变，括号的取值范围不变）∴f(2x-1)中0212x ≤-≤ ∴1322x -≤≤ ∴f(2x-1)的定义域为13|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ 练习2、设函数()f x 的定义域为[01]，，则函数2()f x 的定义域为_、[1,1]-；_______；函数2)f 的定义域为___[4,9]_____；3、若函数(1)f x +的定义域为[23]-，，则函数(21)f x -的定义域是 5[0,];2；函数1(2)f x +的定义域为 11(,][,)32-∞-+∞ 。
3.复合函数定义域复合函数形如：(())y f g x =,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。
例2：()(2,3),()(1)(2),f xg x f x f x -=++-若函数的定义域为求g(x)的定义域。
分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。
此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。
解：由f(x)的定义域为（-2,3），则f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）；3204x x -<<⎧∴⎨<<⎩，解得0<x<2 所以，g(x)的定义域为（0,2）.（一）求函数值域方法和情形总结1.直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y 值的取值范围。
练习（1）223y x x =+- [1,2]x ∈ 求值域。
[0,5]y ∈2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。
总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a ；（2）a 不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。
例1：求2()46f x x x =-+在[1,5]上的值域. 解：配方：2()(2)2f x x =-+f(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间 min (2)2y f ==（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）max (5)11y f ==所以，f(x)的值域为[2,11].练习（2）223y x x =+- ()x R ∈ 求值域。
{|4}y y ≥-3.分式型（1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x 的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。
具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为d y a bx c=++。
例2：51()42x f x x -=+求的值域. 解：510(42)1515744()424242(42)x x f x x x x +---===-+++ 由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到54， 即：函数f(x)的值域为5{|}4y y ≠. 练习⑶311x y x -=+ 求值域 （3）{|3}y y ≠（2）利用20x ≥来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现2x 形式，此时由于为平方形式大多时候x 可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。
例3：求函数2231()2x f x x -=+的值域. 解：由于22x +不等于0，可将原式化为22231yx y x +=- 即 2(3)12y x y -=--（由于20x ≥）只需3y ≠,则有21203y x y --=≥-3)y -(12)0y --≥ 所以，函数值域1,32y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 练习（4） 225941x x y x +=-＋ 求值域1{|5}2y y y ≠≠且（3）方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x 又出现2x 混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。
对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。
例4：求函数221x y x =+的值域 解：由于函数的定义域为R ，即210x +≠原式可化为 220yx x y -+=（由于x 可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x 会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）所以，2440y ∆=-≥所以，函数值域为[]1,1y ∈- 练习：求值域（5）211y x =+4.换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。
而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。
注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。
例5：求函数()2f x x =解：令20,1t t x t =≥=+则，带入原函数解析式中得2221152(1)222()48y t t t t t =+-=-+=-+因为，0t ≥所以，函数的值域为15,8y ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 练习：求值域（6）y x =-1{|}2y y ≤一．选择题（共10小题）1．（2007•河东区一模）若函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则使A∩B=∅的实数a的取值范围是（）2．若函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（x+1）的定义域是（）3．（2010•重庆）函数的值域是（）4．（2009•河东区二模）函数的值域是（）．C．（0，）5．已知函数y=x2+4x+5，x∈[﹣3，3）时的值域为（）6．函数y=在区间[3，4]上的值域是（）A．[1，2]B．[3，4]C．[2，3]D．[1，6] 7．函数f（x）=2+3x2﹣x3在区间[﹣2，2]上的值域为（）8．函数的值域是（）9．函数y=x2﹣2x（﹣1＜x＜2）的值域是（）10．函数的值域为（）A．[2，+∞）B．C．D．（0，2]二．填空题11．（2013•安徽）函数y=ln（1+）+的定义域为_________．12．（2012•四川）函数的定义域是_________．（用区间表示）13．求定义域：．14．函数y=x2+2x﹣1，x∈[﹣3，2]的值域是_________．15．函数y=10﹣的值域是_________．。