1 zN
, z 0
1 z 1
三、S、Z复平面间的映射关系 S平面到Z平面的映射是非单一的。
四、频率轴的定标
2.2 Z变换的定义域ROC
X (z) x[n]zn n
令 z re jω, z r.
z 变换收敛意味着:
X (z) x[n]zn x[n] z n
n
n
x[n] r n
例2. 左边序列：x[n] a nu[n 1],
1
X (z) a n z n n a 1 z n n1
ROC : a 1z 1,
i.e. z a .
X
(z)
1
1 az
1
.
唯一性问题
Z变换与F变换的关系
• DTFT : 在 z e j 的z 变换, i.e., z 1。 • DTFT : 在单位圆上的 z 变换。 • DTFT 存在 (i.e. 序列稳定 ) ROC 含单位圆。
(b) 再用观察法求x[n].
• 例1. X (z) e z1 , z 0.
(b) 时移 : x[n d ] z d X (z)
(c)
指数相乘:
z
n 0
x[n]
X(z /
z0 ),
ROC z0 ROCx
(d ) 微分 : nx[n] z dX (z) , ROC不变 dz
(e) 反序 : x[n] X (z 1 ), ROC 1/ ROC
( f ) 共轭 : x[n] X (z ), ROC 不变
Z变换是F变换的一般化、推广， 序列的F变换是在单位圆周（|Z|＝1）上 的Z变换。
(1) [n] 1, z C
(2)
u[n]
1
1 z
1
,
z 1
(3) x[n] u[n] a nu[n 1] 1 1 ,1 z a 1 z 1 1 az 1
(4)
x[n]
1,
0 n N 1， 0, 其它，
x[n] 2 [n 1] 8 [n] 13(1/ 2)n u[n]
二、 部分分式展开法 (PEE)
M
M
bm z m
(1 sm z 1 )
H (z) m0 N
K m0 N
am zk
(1 d k z 1 )
பைடு நூலகம்
k 0
k 0
N
• PEE: H(z)
Ak ,
k 0 1 d k z 1
X (e j ) x[n]e j n n
X (z) x[n]z n n
2.3 Z变换的性质
(a) 线性 : e.g. :
ax1[n] bx2[n] aX1 (z) bX 2 (z), ROC ROC1 ROC2
x[n] u[n] a nu[n 1] 1 1 ,1 z a 1 z 1 1 az 1
z 1 8 (z 1 1)
z 1 3
5, 2
A2
z 1 (z 1
8 3)
z 1 1
7. 2
x[n]
[n]
5
1n
u[n]
7
1
n
u[n]
2
2 3
三、 指数展开法（幂级数法）
基本思想：将H (z)表示为指数序列：
(a) H (z) x[2]z 2 x[1]z x[0] x[1]z 1 x[2]z 2
2 Z变换及离散时间系统
• Z变换的定义 • Z变换的收敛域ROC • 与FT的关系 • Z变换的性质 • 逆Z变换
• LSI系统的转移函数 • 离散系统的极零分析 • 滤波的概念 • IIR系统的信号流图与结构
Z变换是DTS分析、综合的重要工具，其在离散 系统中的作用地位犹如拉斯变换之于连续系统。
2.1 Z变换的定义
一、直接定义
X (z) x(n)zn n0
Z为复变量，一般写成极坐标的形式。
给定一序列x(n)： …x(-n),x(-n+1),…,x(-1),x(0),x(1),…,x(n-1),x(n),… 以其为系数构成一双边无穷级数x(n)z-n。
二、由L氏变换引出Z变换
xs (nts ) x(t) (t nTs ) x(nT s) (t nTs )
X(s)
xs
(nTs
)est
dt
x(nTs ) (t nTs ) est dt
x(nTs )
(t
nTs )
est dt
x(nTs )esnTs
z esTs
复变量 s j
z esTs eTs e jTs e j
X (z) x(n) n e jn F[x(n) n ]
n
收敛性取决于：z r.
如 其 ROC 包含单位圆，则意味着对 z 1收敛,
i.e. 序列的DTFT收敛。
例1. 指数序列（右边） x[n] a nu[n],
X (z) a n z n n0 az 1 n n0
ROC : az -1 1,
i.e. z a .
X (z) 1 . 1 az 1
(g) 卷积 : x1[n] bx2[n] X1 (z) X 2 (z),
ROC ROC1 ROC2 e.g. :
令 x1[n] a nu[n], x2[n] u[n],则
X
1
(z)
1
1 az
1
,
z
a
;
X
2
(
z)
1
1 z
1
,
z
1.
若 a 1, Y (z)
1
, z 1.
(1 az 1 )(1 z 1 )
y[n] 1 (u[n] a n1u[n]) 1 a
(h) x[n]初值 ：lim X (z) x[0]. z
2.4 逆Z变换
一、观察法
• 基本思想：用已知的变换对关系求未知z变换的反变换！
• 例1： 已知：a nu[n] 1 , z a , 1 az 1
求： X (z) 1 1 , z b a , 1 az 1 1 bz 1
其中， Ak (1 d k z 1 )H (z) zdk , 假设（M N ).
• 再用观察法求所得分式。
H (z)
z 2 z 2
3z 1 5 4z 1 3 ,
x[n] 为因果序列。
H (z)
1
(z 1
z 1 8 1)(z 1
3)
1
A1 (z 1 1)
A2 (z 1
3)
,
式中，A1
可得：x[n] (a n bn )u[n], (注 : 注意ROC).
•
例2：求： X (z)
Z 2 1
2Z 1 (1/ 2)z
1
5
,
且x[ n]稳定,
极点: z 1/ 2, z 0 ROC : z 1/ 2,
用除法得: X (z) 2z 1 8 13 , 1 1 z 1 2