函数导数与不等式专题2函数导数与不等式专题一．利用切线与导数之间的联系解决不等式有关问题1．（2013年高考四川）已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.(1)指出函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且2x<,证明:211xx -≥;(3)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.2．（2014届江西省新余）已知函数x(=，f ln)xbxaxg．x=aR)()(2∈-（1）若曲线)(x f与)(x g在公共点)0,1(A处有相同的切线，求实数a、b的值；（2）当1=b时，若曲线)(x f与)(x g在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；（3）若0>a，1=b，且曲线)(x f与)(x g总存在公切线，求正实数a的最小值．34二．利用函数的单调性、极值与导数的联系解决有关不等式问题3．（2014届云南省师大附中）已知函数2()f x x ax=-，()ln g x x =．（1）若()()f x g x ≥对于定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,x x ，且110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：123()()ln 24h x h x ->-；54.（2014届湖北省部分重点中学）已知函数322()13f x x x ax =+++在()1,0-上有两个极值点12,x x ，且12x x <（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：211()12f x >．6三、灵活应用导数解决函数与不等式的有关综合问题5．（2014届浙江省杭州市）设函数xex f xsin )(+=，2)(-=x x g ；（1）求证：函数)(x f y =在),0[+∞上单调递增；（2）设))(,(11x f x P ，22(,())Q x g x )0,0(21>≥x x ，若直线PQ x//轴，求Q P ,两点间的最短距离.76. （2014届江西省师大附中）设()(1)xf x e a x =-+．(1)若0,()0a f x >≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最大值．（2）设()()xa g x f x e =+，且112212(,),(,)()A x yB x y xx ≠是曲线()y g x =上任意两点，若对任意的1a ≤-，直线AB的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围； （3）求证：*13(21)(2)()1nn n n n n n N e +++-<∈-L ．8课后强化训练1. （2014届河北省邯郸市 ）设函数2()(1)x f x x e ax =-+(1) 当12a =-时，求)(x f 的单调区间； （2）若当0≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.2、（2014届湖北省黄冈中学）已知函数()1ax x ϕ=+，a 为常数．（1）若()ln ()f x x x ϕ=+，且92a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若()ln ()g x x x ϕ=+，且对任意12,x x (]0,2∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--，求a 的取值范围．9函数导数与不等式专题参考答案1解:(1)函数()f x 的单调减区间为)1,(--∞,单调增区间为)0,1(-,),0(+∞(2)由导数的几何意义知,点A 处的切线斜率为)(1x f ',点B 处的切线斜率为)(2x f ',故当点,A B处的切线互相垂直时,有)(1x f '1)(2-='⋅x f , 当x <0时,22)(+=x x f 因为021<<x x,所以 1)22()22(21-=+⋅+x x,所以221<+x ,0222>+x,因此1)22()22()]22()22([21212112=+⋅+-≥+++-=-x x x x x x,(当且仅当122)22(21=+=+-x x ,即231-=x 且212-=x 时等号成立)10所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时有211x x -≥.(Ⅲ)当021<<x x或012>>x x时,)(1x f ')(2x f '≠,故210x x <<.当01<x时,()f x 的图象在点))(,(11x f x 处的切线方程为)()22()2(11121x x x a x x y -⋅+=++- 即 ax x xy +-+=211)22(.当02>x时,()f x 的图象在点))(,(22x f x 处的切线方程为)(1ln 222x x x x y -⋅=- 即 1ln 122-+⋅=xx x y .两切线重合的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=②①a x x x x 212121ln 221,由①及210x x <<知,2102<<x ,由①、②得1)21(411ln 1)121(ln 222222--+-=--+=x x x x a ,令21x t =,则20<<t ,且tt ta ln 412--=设)20(ln 41)(2<<--=t t t t t h ,则23)1(1121)(2<--=--='tt t t t h所以)20()(<<t t h 为减函数,则2ln 1)2()(--=>h t h ,所以2ln 1-->a ,而当)2,0(∈t 且t 趋向于0时,)(t h 无限增大, 所以a 的取值范围是),2ln 1(+∞--. 故当函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是),2ln 1(+∞--.2解：（1）()xb x f ='，()12-='ax x g ．∵曲线()x f 与()x g 在公共点()0,1A 处有相同的切线∴ ()()⎪⎩⎪⎨⎧-==-===1201101ln 1a b a g b f ，解得，⎩⎨⎧==11b a ． …………………3分（2）设()00,P x y ，则由题设有200ln x ax x -= … ①又在点P 有共同的切线()()000020011''212x f x g x ax a x x +=⇒=-⇒=代入①得002121ln x x -=……5分设()x x x h 2121ln +-=，则()()0211>+='x x x h ， ∴()x h 在()+∞,0上单调递增，所以 ()h x ＝0最多只有1个实根，从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点P只能是()1,0P ……………7分 （3）当0>a ，1=b 时，()x x f ln =，()x x f 1='， 曲线()x f 在点()t t ln ，处的切线方程为()t x t t y -=-1ln ，即1ln 1-+=t x ty ． 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=x ax y t x t y 21ln 1，得 01ln 112=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t x t ax．∵ 曲线()x f 与()x g 总存在公切线，∴ 关于t ()0>t 的方程()01ln 411Δ2=-+⎪⎭⎫⎝⎛+=t a t ，即()t a t ln 14112-=⎪⎭⎫⎝⎛+ ()*总有解．………9分 若e t >，则0ln 1<-t ，而0112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+t ，显然()*不成立，所以 e t <<0…10分从而，方程()*可化为 ()()t t t a ln 11422-+=． 令()()()t t t t h ln 1122-+=()e t <<0，则()()()()23ln 11ln 21t t t t t t h --++='．∴ 当10<<t 时，()0<'t h ；当e t <<1时，()0>'t h ， 即 ()t h 在()1,0上单调递减，在()e ,1上单调递增． ∴()t h 在()e ,0的最小值为()41=h ，所以，要使方程()*有解，只须44≥a ，即1≥a ．…………………………13分3解：（1）()()f x g x ≥，ln (0)xa x x x->∴≤，22ln ln 1(),()x x x x x x x x ϕϕ+-'=-=设…（2分）当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，当(1,)x ∈+∞时，()0,x ϕ'>()(1)1,(,1]x a ϕϕ=∴∈-∞∴≥．…………………………………………（5分） （2）2()ln ,h x x ax x =-+221()(0),x ax h x x x-+'∴=>2121211,0,,(1,),21(1,2)22i i x x x x ax x i ⎛⎫=∈∈+∞=+= ⎪⎝⎭∴∵∴且，2212111222()()(ln )(ln )h x h x x ax x x ax x -=-+--+∴22222211122212222221(1ln )(1ln )lnln 2(1)4x x x x x x x x x x x x =--+---+=-+=-->…（9分）2222231(21)()ln 2(1),()0,42x x x x x x x x μμ-'=-->=设≥1233()(1)ln 2,()()ln 2.44x h x h x μμ>=-->-∴即 …………………………（13分）4.（1）2()22f x xx a'=++，由题意知方程2220xx a ++=在()1,0-上有两不等实根，设2()22g x x x a=++，其图象的对称轴为直线12x =-，故有 (1)0(0)011()(1)022g a g a g a ⎧⎪-=>⎪=>⎨⎪⎪-=+-+<⎩，解得102a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）（222a xx=-- 构造2()22g x xx=--利用图象解照样给分）（2）由题意知2x 是方程2220xx a ++=的大根，从而21,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且有222220x x a ++=，即22222a xx =--，这样3222222()13f x x x ax =+++32232222222224(22)1133x x x x x x x =++--+=--+设324()13x x x ϕ=--+，2()42x x xϕ'=--=0，解得121,02x x =-=，由1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<； 1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'>； ()0,x ∈+∞，()0x ϕ'<知，324()13x x x ϕ=--+在1(,0)2-单调递增，又Q 2102x -<<，从而2111()()212x ϕϕ>-=，即211()12f x >成立。