P{| fn ( A) 1 / 2 | } 0
E[ fn ( A)]
1n n i1 E( X i )
1; 2
D[ fn ( A)]
1 n2
n
D( X i )
i1
111 n22
1 4n
由切比雪夫不等式可得
0 P{| fn ( A) 1 / 2 |＞}
D[ fn (A)]
2
1
4n2
电子科技大学概率论与数理统计MOOC
第5 章
知识点名称：依概率收敛的意义 主讲人：龚丽莎
§5.1 依概率收敛的意义
回顾：微积分中数列收敛的定义 设{an}是一个数列，a是一个常数，若对任意ε＞ 0，存在正整数N,
使得n＞N时，有
| an a |＜
则称数列{an} 收敛于a，记为 an a 或 lniman a
| fn ( A) 1 / 2 | 一定不发生
显然有可能发生！
如：不管n值多大，都有可能抛出全是正面或反面的结果．此时fn(A) 等于1或0, 若给定ε = 0.2, 则
| fn ( A) 1 / 2 | 0.5 发生
但容易算出：
P{n次全是正面或反面}
1 2n1
0
更一般地，可用切比雪夫不等式从理论上证明
0
结论：对任意给定的ε＞ 0，n再大也不能保证
| Xn X | 一定不发生
但可减弱为：对任意给定的ε＞ 0，事件| Xn X | 虽有可能发生，
但只要 n 充分大，就可保证其发生 的概率充分小, 即
P{| Xn X |} 0.
定义：设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量或常数，若
对任意ε＞ 0，有
令A ={ 出现正面 }, fn(A)是事件A发生的频率
可否认为 fn(A)→P(A)? 但fn(A) 是数列吗？
事实上，令
X i
1, 0,
第i次出现正面 第i次出现反面
i 1, 2, n
n
故正面出现的总次数为
Xi
i 1
fn (
A)
1 n
i
n 1
X
i
fn(A) 是随机变量序列
如前猜想：对任意给定的ε＞ 0，只要n充分大，则
P(An ) pn 0
lim
n
P{|
Xn
X
|
}
0
或
lim
n
P{|
Xn
X
|
}
1
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X
Xn
X,
(P)
n很大时，Xn 与 X 出现较大偏差的可能很小 n很大时，有很大把握保证 Xn 与 X 很接近
例5.1.1 将一枚均匀硬币连续独立抛掷 n 次，考察正面出现的频率 与概率之间的关系
理解：对任意给定的ε＞ 0，只要n充分大，则 | an a |＜ 一定成立
或 | an a | 一定不会发生
问题：能否类似定义随机变量序列的收敛性？
尝试： 设{Xn}是随机变量序列，X 是随机变量或常数， 对任意给定的ε＞ 0，只要n充分大，则
| Xn X | 一定不发生 可行吗？
抛硬币试验