分析:学生常把“完成一件事情”与“计算完成这件 事情的方法总数”混淆．把要完成的事情理解成为“求 满足条件的两位数的个数”．
教学建议:解题先抓 “完成的一件事情是什么”
什么叫“完成一件事情” 用什么方法完成
是否需要分类或分步完成
确定到底应该用哪个计数原理
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两个计数原理例题分析
• 例1、例2的重点放在分析出“一件事情”是什么. • 例3的两个小题和例4主要让学生自己分辨何时用什么原理， 从而加深对两个原理的理解. • 例5、 模块命名 • 例6、 RNA分子构成 • 例7、 计算机字节 • 例8、 程序测试中执行路径 • 例9、 设置汽车牌照
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二项式定理的 猜想与证明 过程
（1）在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出 n =2，3，4的展开式的问题； （2）详细写出用多项式乘法法则得到n=2展开式的 过程，并从两个计数原理的角度对展开过程进行 分析，概括出项数以及项的形式； （3）用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的 个数，从而得出用组合数表示的n =2展开式； （4）让学生模仿上述过程推导n =3，4的展开式； （5）得出关于二项式展开式的猜想，给出证明．
三、课标规定的本章内容与要求
1.本章教学要求 （1）．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原 理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步 乘法计数原理解决一些简单实际问题. (2)．排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念； 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解 决简单的实际问题. (3)．二项式定理 能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. ★与以往“教学大纲”基本一致，唯一不同的是“教学大 纲”要求“掌握组合数的两个性质，并能用它解决一些简单 的应用问题”，而这里没有这个内容和要求. 7
2.本章重点和难点 （1）重点：
两个计数原理，排列、组合的意义及排列 数、组合数计算公式，二项式定理． 两个计数原理是最基本而重要的． （2）难点： 正确运用两个计数原理以及排列、组合 概念分析和解决问题．
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3.本章课时安排
1．本章有三节内容，共14课时 具体分配如下（供参考）： 1．1 两个计数原理 1．2 排列与组合 1．3 二项式定理 小结
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1.3 二项式定理（3课时）
重点： 1.用两个计数原理分析(a+b)2的展开式，归纳得 出二项式定理，并能用计数原理证明; 能应用它解决简 单问题. 2.学会讨论二项式系数性质的一些方法. 难点： 用两个计数原理分析(a+b)2的展开式;用两个计数 原理证明二项式定理
教科书中用两个计数原理非常详细地分析(a+b)2的 展开式，学生模仿分析写出(a+b)3、(a+b)4的展开式， 归纳推理出(a+b)n 的展开式，并给出证明.
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（4）二项式定理的学习过程是应用两 个计数原理解决问题的典型过程，其基 本思路是“先猜后证”． （5）“学以致用”的思想始终贯穿本 章内容． 两个计数原理的直接应用,需要经过 一定量的应用性训练．
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四、具体教学分析
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
•
•
重点：归纳得出分类加法计. 难点：正确地理解“完成一件事情”的含义;根据实 际问题的特征，正确区分“分类”或“分步”.
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排列组合教学建议
1.重视基本概念教学，让学生养成做题时首 先判断是否和顺序有关的好习惯. 2.在分析排列、组合应用题时，应充分利用 树形图进行分析，这样比较直观，便于理解.在 讲完例题后还应对思考方法进行总结. 3. 在开始做排列、组合应用题时，应要求学 生写出解法的简要说明，说出解法的根据，这样 有利于培养学生严密思考的习惯，减少错误的发 生.特别注重对学生错误思路的分析，找出错误 的根本原因. 4.排列组合建议采用对比法教学
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注意借助几何直观理解 抽象的二项式系数的性质
两个计 数原理
2课时，3道例题
大纲 排列组合 9课时 4课时 二项式定理
标准 6课时，例题 习题减少 3课时，例题减少
T r 1 T k 1
要求
不要求
课本P25以“探究与 发现”的形式给出
组合数的 两个性质
C C
m n
nm n
m m m 1 C C C n 1 n n
5
大纲 文理区别 教学顺序 上的变化 文理都学 概率前
标准 理科学 文科不学 古典概率后
必修3概率
计数原理
选修2-3概率
1.必修3强调概率思想，避免复杂的计算干扰学生对概率 思想的领悟 2.本章为进一步研究概率做准备 3.本章学习,提供思想和工具 计数问题是数学中的重要研究对象之一，计数原理 为解决很多实际问题提供思想和工具(分类分步思想不 6 仅仅是解计数问题)
典型（学生熟悉的）实例 →“两类方案”或“两个步骤”的计数原理 →“n类方案”或“n个步骤”的计数原理 →单一例题 →综合例题 →归纳用两个计数原理解决问题的方法
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对“完成一件事情”的理解
“完成一件事情”是指“确定一个满足条件的排 列或组合” 例: “从1~9这九个数字中任取两个，一共可 组 成多少个没有重复数字的两位数？”
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对通项要注意以下几点:
T C a b ( k 0 , 1 , 2 , … ， n ) k 1
•
• • •
kn k k n
•
①它表示二项展开式中的任意项，只要n与k确 定，该项也随之确定. ②公式表示的是第k+1项，而不是第k项. ③公式中a、b是一种“符号”，它们可以是数、 式或其它. ④公式中a、b的位置不能颠倒，它们的指数和 一定为n. 要注意区分，展开式的第k+1项的二项式系数与 第k+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混 在一起.
数学选修2－3章
计数原理教材分析
1
教学分析提纲 一、本章地位与作用 二、本章的变化之处 三、本章内容与要求 四、具体的教学分析 五、教学的注意问题
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一、本章地位与作用
计数原理是数学的重要研究对象，分类加法计 数原理、分步乘法计数原理是解决计数原理问题的 最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它 们为解决很多实际问题提供了思想和工具.以计数 问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快 且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步 知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论 的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特 性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材. 作为初中一种多项式乘法公式推广的二项式定理， 不仅使前面的计数原理等知识的学习得到强化，而 且与后面概率中的二项分布有着密切联系.
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排列组合教学分析
1、概念理解 排列、一个排列、不同排列、全排列、排列数 组合、一个组合、不同组合、组合数
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排列概念中的“一定顺序”
• 排队中“从前到后”、“从左到右”、“从上到下” 都是“一定顺序”； 例: “从1~9这九个数字中选三个不同数字组成三 位数”中，“一定顺序”可以规定为“百十个”； 等等. • 若干个元素按照一定的顺序排成一列，元素不同或 元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列． “排列数”与“一个排列”、“组合数”与“一个组 合”. 例如，123，321，213，…都是“从1~9这九个 19 数字中选三个不同数字组成三位数的一个排列”，
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1.2 排列与组合
重点： 1.归纳、对比得出排列、组合概念; 2.根据两个计数原理推导出排列数、组合数公式 ; 3.应用排列与组合知识解决简单的实际问题. 难点： 1.建立组合与排列的联系，结合两个数原理推导排 列数、组合数公式; 2.根据实际问题的特征，正确地区分“排列”或 “组合” 排列与组合是两类特殊的计数原理，是典型的 两个计数原理的应用，排列组合在计数中的地位， 就如同等差等比数列在数列中的地位.
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二、本章的变化之处
名称上 的变化 分类加法 计数原理 叙述上略 有变化
大纲
标准
排列、组合 和二项式定理 分类计数原理与 分步计数原理
完成一件事， 有n类办法， ……
计数原理 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 完成一件事 有n类不同的方案，…… 4课时，9道例题（时代性）， 习题增加； 突出了原理的思想性和工具 性 (分类 分步 方法)； 解计数问题的方法写入了教 材 (如第10页.教材更实 4 际实用了，贴近高考要求)
排列组合教学分析
2、公式推导 排列公式的推导用到（1）分步乘法计数原理 和（2）树状图 组合公式的推导用到 （1）排列与组合的关系 和 （2）树状图 排列是先选后排 组合是只选不排
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例如 组合数公式的推导
以问题“从集合{a，b，c，d}中取出3个元素 组成三元子集，共有多少不同的子集？”为载体， 设置如下台阶： （1）借助树形图用列举法得出答案； （2）细致分析从a，b，c，d中取出3个元素的 排列与组合之间的关系； （3）以“等式的两边是对同一个问题作出的两 个等价解释”为指导，分析等式的实际意义，得 出“从4个不同元素中任取3个的排列的两个步 骤”； （4）推广到一般情形，得出组合数公式．
约4课时 约6课时 约3课时 约1课时
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4. 本章内容结构
分类加法计数原理、分步乘法计数原理
排列 排列数公式
组合 组合数公式
二项式 定理
应
用
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5．对本章内容的几点说明 （1）分类加法计数和分步乘法计数 是处理计数问题的两种基本思想方法． （2）两个计数原理的实质是加法运 算与乘法运算的推广，是解决计数问题 的理论基础． （3）排列组合是两类特殊而重要的 计数问题，解决它们的基本思想和工具 就是两个计数原理．
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