条件分布及随机变量的独立性
1．设二维离散型随机变量),(Y X 只取 )2,1(),1,1(),0,0(-- 及 )0,2( 四对值，相应概率依次为
12
5,31,61,121 ，试判断随机变量X 与Y 是否相互独立。

所以，X 与Y 不独立。

2. 设随机变量X 与Y 相互独立，试完成下表：
3．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为
1,01,02,
(,)0,x y x f x y <<<<⎧⎪=⎨⎪⎩其他.
试判定X 与Y 是否相互独立。

解：
()(,)X f x f x y dy
+∞
-∞
=⎰
.
当0x ≤或1x ≥时，
()0
X f x =；当01x <<时，
20
()12x
X f x dy x
==⎰.
()(,)Y f y f x y dx
+∞
-∞
=⎰
.
由于当(,){01,02}x y x y x ∈<<<<时，
(,)()()
X Y f x y f x f y ≠⋅，
且区域{01,02}x y x <<<<的面积不为0，所以，X 与Y 不相互独立.
4. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合密度函数为
201,01
(,)0
x y cxy f x y <<<<⎧=⎨
⎩其他， 求常数c ，并判断X 与Y 是否相互独立。

6=c 。

求X 的边缘密度：()()⎰
+∞
∞
-=
dy
y x f x f X ,。

当
10≥≤x x 或时，()0=x f X ；
当10<<x 时，
()⎰
==
1
226x
dy xy x f X 。

求Y 的边缘密度函数：()()⎰+∞
∞
-=dx
y x f
y f Y
,。

当
10≥≤y y 或时，()0=y f Y ；
当
10<<y 时，
()⎰
==
1
2
236y dx xy y f Y 。

由于对任x ，y ，有
()()()y f x f y x f Y X =,。

所以，X 与Y 相互独立。

5．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0,1）内服从均匀分布，Y 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0
,
00,
2
1)(2/y y e y f y Y ．
（1）求X 与Y 的联合概率密度；（2）设关于a 的二次方程为 022
=++Y Xa a ，求此方程有实根的概率。

解：由X ~U (0，1)知X 的密度为：
()X f x =
1,
01;0,
x <<⎧⎨⎩其他.
由X Y 与独立知，(X ,Y )的一个联合密度为：
方程有实跟的概率为：。