2 常数项级数 un 的敛散性 n 1
部分和 {s n }
高等数学
高等数学
高等数学
芝诺悖论
100m
10m
芝诺(Zeno of Elea) 1m
100 10 1 0.1……
0.1m 高等数学
常数项级数的概念
一、常数项级数的定义 二、常数项级数的敛散性 三、应用 四、总结
高等数学
一、常数项级数的定义
给定一个无穷数列 u1,u2,,un ,,将其各项依次
相加，构成的表达式 u1 u2 un
芝诺悖论
100m
10m
芝诺(Zeno of Elea)
1m
100 10 1 0.1……
0.1m 高等数学
芝诺悖论
分析：
阿基里斯要追赶乌龟的全部路程为
100 10 1 0.1……
这是一个公比为 q 1 1 的等比级数 10
和为
S
100 1 1
1000 . 9
10
高等数学
四、总结
1 常数项级数 un u1 u2 … un … n1
A
sn
n
u1unu2
…un
i1
n
A
lim
n
sn
lim
n
i 1
un
高等数学
二、常数项级数的敛散性
级数
un
, 前n项和
sn u1u2 …un
n 1
称为级数的部分和, 显然, 它构成了一个数列 {sn}
(1)如果, 部分和数列{sn} 的极限 存在 , 即
lim
n
sn
s
s
则称无穷级数 un 收敛. 极限
叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为
un u1 u2 … un …
n1
通项
高等数学
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
高等数学
割圆术：圆的面积A
A s1 u1
高等数学
割圆术：圆的面积A
A s1 u1
A s2 u1 u2
lim
n
sn
lim
n
2
因此，所给级数是发散的.
高等数学
例 2 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 … aqn …
n0
(a 0)
的敛散性, 其中 q 叫做级数的公比.
解：
Sn
a
aq
aq2
…
aq n 1
a(1 qn ) ，(q 1 q
1)
当 | q | 1时, lim qn 0 n
则
lim
n
Sn
a 1 q
收敛
当 | q | 1时, lim qn n
则
lim
n
Sn
发散
高等数学
aqn a aq aq2 … aqn … (a 0)
n0
如果 | q | 1，
当 q 1时,Sn a+a … a na (n )发散 当 q 1时, 级数变为 a a a a …
叫做
un
的和
n 1
Hale Waihona Puke n 1写成 s un u1 u2 … un …
n1
(2)如果{sn} 没有极限,则称 无穷级数
un 发散.
n 1
注：发散级数无和
高等数学
三、应用
例1 讨论级数1 2 3… n … 的敛散性.
解： 级数的部分和为
sn
1 23… n
n(n 1) 2
显然，
n(n 1)
0, n为偶数 Sn a, n为奇数
lim
n
Sn不
存
在,
发散
高等数学
例 2 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 … aqn …
n0
(a 0)
的敛散性, 其中 q 叫做级数的公比.
结论： aqn n0
当
q
1时,等比级数收敛,和为
S
a 1 q
当 q 1时,等比级数发散
高等数学