称为级数的部分和.
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5
则称无穷级数收敛，
并称 S 为级数的和， 记作：S un
n 1
则称无穷级数发散。
即：常数项级数收敛(发散) lim S n 存在(不存在)
n
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
即
Sn S
误差为 Rn
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设三角形 周长为 P1 3 , 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
播放
依次类推
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9
结束
第 n 次分叉：
4 n 1 周长为: Pn ( ) P1 3 n 1, 2,
n n n
a lim s n n 1 q
收敛
lim q n lim sn 当 q 1时 , n
机动
发散
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17
结束
当 q 1时 ,
sn na
发散
发散
aq 3 aq
2
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
a 1 q , n 综上所述 aq n 0 发散 ,

q 1 q 1
a aq
aq 2
右图给出了几何级数的一个 几何解释:
S a 由三角形的相似 a a aq a S 1 q
a
aq
aq
S
a
a
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18
结束
例 4： 以德国数学家 Cantor 命名的 Cantor 集是这样
事实上 : 所有被去掉所有区间的端点都是 Cantor 集中的点.
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20
结束
例 4： （2）Sierpinski 毯是 Cantor 集的二维情形。 它是通过去掉边长为 1 的正方形中间的九分之一，再 去掉剩下的八个小正方形中间的九分之一， 以此类推。 证 明 ：去掉 的 所有正 方 形的总 面 积为 1. 这意 味 着 Sierpinski 毯的面积为 0。
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19
结束
（1）证明：被去掉的所有区间的总长度为 1。尽管如 此，Cantor 集还是包含无穷多个点，举出几个属于 Cantor 集的数。
证明: 被去掉所有区间的总长度为
2 1 2 23 2 2 n 1 L + 2 + 3 + 4 n 3 3 3 3 3 为几何级数 1 2 2 2 2 n1 [1 ( ) ( ) ] 公比 q 2 , 3 3 3 3 3 1 1 1 2 1 0,1, , 都属于 Cantor 集 。 2 3 3 3 1 3
SN 1
o
y
1 2 3 N 1 N
y 1 x
x
即 亦即 所以
ln N S N 1 , S N ln N 1 , ln N S N ln N 1 ,
o
1 2 3 N 1 N
x
1 1 1 1 SN 1 2 3 N 1 N
即
ln N S N ,
N
所以 故调和级数发散
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lim S N lim ln N
N
25
结束
ln N S N
y
y 1 x
又

N
1
1 1 1 1 dx x 2 3 N
1 2 构造的：在闭区间[0,1]中去掉开区间( , ) ，这样就剩 3 3 1 2 下两个闭区间[0, ]，[ ,1]，再分别去掉这两个闭区间 3 3
中间的三分之一开区间，余下四个闭区间，再次去掉 每个闭区间中间的三分之一开区间，无穷次重复这个 过程，每一次都去掉上一步剩下的每个闭区间中间的 三分之一开区间。 Cantor 集是由去掉所有这些开区间 后，[0,1]上剩下的点组成。
但 lim S n 1 ?
n
1 1 1 1 2lim[ ] n 1 2 2 3 34 n ( n 1)
1 1 1 1 1 1 1 2lim{(1 ) ( ) ( ) ( ) n 2 2 3 3 4 n n1 1 2lim(1 )2 n n1
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21
结束
例 5:
1 证明调和级数 发散。 n 1 n
1 1 ln( 1 ) n n

证明1： 已知
1 Sn k 1 k
n
1 ln( 1 k ) k 1
n
3 n1 3 4 n1 ln 2 ln ln ln( 2 ) 2 n 2 3 n
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n
7
结束
无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对
称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角
形。如此类推在每条凸边上都做类似的操
作，我们就得到了面积有限而周长无限的
图形——“Koch雪花”。
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8
结束
观察雪花分形过程
1 1 1 1 2lim{( ) ( ) ( 1 1 ) “拆项相消” n 2 3 3 4 n n1 1 1 2lim( ) 1 或 an lim S n 1 n 2 n n1 n 1
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13
结束
例2. 判别下列级数的敛散性:
ln( n 1)
级数发散。
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22
结束
例 5:
1 证明调和级数 发散。 n 1 n
1 1 1 n 1 , Sn n1 n 2 2n 2n 2

证明2：
S2n
假设调和级数收敛 , 其和为 S .
于是
便有
lim( S 2 n S n ) S S 0,
aq n a aq aq 2 aq n , ( a 0 )
n 0

解:
如果 | q | 1 时
sn a aq aq 2 aq n 1
a a aq n (1 q n ), 1 q 1 q
当 q 1 时 , lim q 0
2 4 n1 3 解: Sn ln ln ln ln 3 n 1 2
(ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln( n 1) ln n
ln( n 1)
(n ）
利用 “拆项相消” 求和
所以级数 (1) 发散 ;
面积为
An An 1 3{ 4
n 2
1 n 1 [( ) A1 ]} 9
1 1 2 1 n 1 n 2 A1 3 A1 3 4 ( ) A1 3 4 ( ) A1 9 9 9 1 1 4 1 4 2 1 4 n 2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9
1 1 1 1 引例3. 考察： 1 n 2 2 4 8 2
0 1 3 2 2
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4
结束
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 次相加, 简记为
un ,
n 1

即
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
n 2 , 3 ,
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10
结束
于是有
lim Pn
n
雪花的周长无限。
4 n 1( ) 1 9 ] A (1 1 1 ) lim An A1 lim[1 1 4 n n 4 3 3 1 1 9 9
3 2 3 A1 (1 ) . 5 5
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14 结束
解1:
ln( n 1) ln( n 1) 2 ln n
1 ln(1 ) ln 2 n
故原级数收敛 , 其和为
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15 结束
解2:
故原级数收敛 , 其和为
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16 结束
例 3: 讨论几何级数（等比级数）的收敛性：
u
n 1

n
，
其中： u1 S1 ， un S n S n 1 ，( n 2 ) 。
按定义，级数
un 与数列
n 1

{ S n } 同时发散，同
时收敛，且在收敛时，有
u
n 1

n
lim S n ，即
n
un lim ui n
n 1 i 1
内接正三角形面积, ak 表示边数
增加时增加的面积, 则圆内接正

这个和逼近于圆的面积 A . 即
3
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结束
引例2.
1 0.3333 3 0.1111 3 3 ( 0.1 0.01 0.001 0.0001 ) 1 1 1 1 3( n ) 10 100 1000 10 3 3 3 3 n 10 100 1000 10