解：等比级数的部分和为：
S n
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) .
1 r
当公比
|
r
|<1时，
lim
n
S
n
lim
n
a (1 r n ) 1 r
a 1 r
,
即S a . 1 r
当公比
|
r
|>1时，lim n
S
n
lim
n
a (1 r n ) 1 r
.
当公比
r
=1时，
常数项级数的概念和性质
一、无穷级数的概念
1. 无穷级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
un u1 u2 un
n1
为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级 数的一般项或通项.
若级数 un 的每一个项un均为常数，则称该 n 1
级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个
n n 1
的敛散性.
解：由于
lim
n
|
u
n
| lim (1)n1 n n n 1
1,
故
lim
n
un
0,
该级数发散.
1
例6. 证明调和级数 n1 n 是发散的.
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S 21
1
1， 2
S4
S22
1
1 2
1 3
1 4
1
1 2
1 2
1
2， 2
S8 S23
n 1
n 1
且 cun cun .
n1
n1
n
证
un 的部分和为 Sn
u
，
k
n 1
k 1
cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n
lim
n
cS
n
c
lim
n
Sn
从而 cun cun 同时收敛或同时发散.
n1
n1
2. 性质2
若 un与 vn收敛， 其和分别为S1和S2，则级
故
lim
n
S
n
lnim(S1n
S2n )
lim
n
S1n
lim
n
S
2
n
S1
S2
即 级数 (un vn ) 收敛，且 n 1
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
例7.
因为等比级数
n1
1与 2 n n1
1 收敛，所以级数
3n
1
n1 2n
1 3n
也收敛.
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
2k
lim
k
1
k 2
故
lim
n
S
n
不存在，即调和级数发散.
三、无穷级数的基本性质
1. 性质1
若c0为常数，则 un 与 cun 有相同的敛散性，
1 2n 1
Sn
1 2
1
1 3
1 2
1 3
1 5
1 1 2 5
1 7
1 2
1 2n
1
1 2n 1
1 2
1
1 2n 1
而
lim
n
S
n
lim
n
1 2
1
1 2n 1
1 2
故
1
1 ，即该级数收敛.
n1 (2n 1)(2n 1) 2
3. 收敛级数的余项
收敛级数 un 的和S与其部分和S
n
lim na
n
当公比 r = 1时，Sn=
a, n为奇数
,
故
lim
n
Sn不存在.
0, n为偶数
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
例4. 讨论级数
1
n1 (2n 1)(2n 1)
的敛散性.
解：
(2n
1 1)( 2n
1)
1 2
1 2n 1
称为收敛级数的余项，记为
rn S Sn um mn1
显然
lim
n
rn
0.
二、级数收敛的必要条件
定理：若级数 un n 1
收敛，则必有
lim
n
u
n
0.
证
设
un
n1
S,
则
lim
n
S
n
S
lim
n
un
lim (S
n
n
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
S
n1
SS 0
例5. 判别 (1)n1
n1
面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2
umk
(u1 u2 um ) um1 um2 umk (u1 u2 um )
Smk Sm
由于Sm当m固定时为一常数，所以
lim
k
S
k
lim
k
Smk
Sm
故 级数 un 与级数 uk有相同的敛散性 .
变量的函数un = un(x), 则称级数 un (x) 为函数项 n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1
2n
n1
1 1 24
1 2n
；
n 1 2 n ;
n1
(1)n1 1 1 1 1 (1)n1 ;
n1
cos n cos1 cos 2 cos n .
n1
2. 级数的敛散性定义
无穷级数 un 的前n项之和： n 1 n Sn uk u1 u2 un , k 1
称为级数的部分和.
若
lim
n
S
n
S 存在，则称级数 un
n 1
收敛，
S称为级数的和： un S. n 1
若
lim
n
S
n
不存在(包括为)，则称级数
un
n 1
发散.
例3. 讨论等比级数 ar n1 的敛散性. n1
例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？
答：是发散的.
问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？
答：不一定.
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)
证 设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1
n 1
k m1
4. 性质4
对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然 收敛，且其和不变.
例9. 考虑一下几个问题： (1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
答：不一定.
n1
例2. 下列各式均为函数项级数
(1)n1 x n1 1 x x 2 (1)n1 x n1 , x R.
n1
an x n a0 a1x a2 x 2 an x n , | x | 1.
n0
sin nx sin x sin 2x sin nx , x R.
n1
n1
数 (un vn )也收敛, n1
且
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
证 (un vn ) 的部分和为： n 1 n
Sn (uk vk ) (u1 v1 ) (u2 v2 ) (un vn ) k 1
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) S1n S2 n