{u~} {u} {u} [K~] [K ] [K ]
[K]{u} ([K] [K])({u} {u}) [K]{u} [K]{u} [K]{u} [K]{u}
[K]{u} 0
{u} [K]1 [K]{u}
j
节点和方向上施加相应的单位荷载，其他节点上施加零荷载，记单位荷载
{E } j
( 2 ) ( 2 )
n
k
（二）结构稳定性的敏感数
（1）改变s设计变量时，n次特征值敏感度(增量形式)；
-{u s}T [K s ]{u s}
n
n
n
([K ] 2[M ]){u } {0}
n
n
{u }T [K ]{u }
- n
n
n {u }T [K ]{u }
n
g
n
{u s}T [K s ]{u s}
u {u }sj T [K s ]{u s} j
（d）改变s设计变量时，j,k节点的位移差敏感度(增量形式)；
u - u {usj}{usk } T [K s ]{us}
j
k
（2）应变能敏感数
改变s设计变量时，结构应变能敏感度(增量形式)； C - 1 {us}T [K s ]{us} 2
三）几种常用的敏感度（灵敏度）
（一）刚度敏感数
（1）位移敏感数 （a）改变s设计变量时，各节点的位移敏感度；
{u} [K ]
[K ] {u}
x
x
s
s
[K ]{u} P
s
s
（b）改变s设计变量时，j节点的位移敏感度；
{u } j
{u
}T
[K ] s {u}Leabharlann xj xs
s
s
（c）改变s设计变量时，j节点的位移敏感度(增量形式)；
j x
x
s
s
{u } j
{u }T
[K ]{u}
x
x
s
s
{u } j
{u }T
[K ] s {u}
x
x
s
s
改变s设计变量时， j 节点的敏感度:
{u } j
{u }T
[K ] s {u}
x
x
s
s
计算步骤：
编制 [K ]1 LDL分解子程序
{P} {F} {E } {F}
j
{u} [K ]1{F}
2 n
kn mn
( 2 )
k k
n
n
k n
n m m m
n
n
n
m (k k ) (m m )k
nn
n
n
nn
m (m m )
n
n
n
mk nn
m k
n
n
m k nn
m k nn
m (m m )
n
n
n
k n
k m
n
n
m
m2
n
n
m m m
n
n
n
kn {un}T [K ]{un} mn {un}T [M ]{un}
[K ]{u j} {E j}
{E j} {u j}T [K ]T
E u {E j}T [K ]1 [K i ]{u} j u {E j}T [K ]1 [K i ]{u} j
u {u j}T [K ][ K ]1 [K i ]{ui} j {u }ij T [K i ]{ui}
u {uij}T [K i ]{ui} j
- n
n
n {u }T [K ]{u }
n
g
n
[K ] 0 g
{u }T ([K] [K ]){u }
- n
n
g
n
n
{u }T [K ]{u }
n
g
n
-{u s}T [K s ]{u s}
n
n
n
（2）改变s设计变量时，前m次特征值平均敏感度(增量形式)；
{u }T 0 n
k {u }T [K ]{u } {u s}T [K i ]{u s}
n
n
n
n
n
m {u }T [M ]{u } {u s}T [M i ]{u s}
n
n
n
n
n
( 2 ) 1 {u s}T ( 2[M s ] [K s ]){u s}
n
mn
n
n
n
（2）改变s设计变量时，n次和k次固有频率差的敏感度(增量形式)；
0
x
x
s
s
[K ] {u} [K ]{u}
x
x
s
s
[K ]{u} P
s
s
[K ]
{u}
{u} [K ] 0
x
x
s
s
{u} {u} , P [K ]{u}
s x
s
x
s
s
拟位移
拟荷载
计算步骤：
（1）解方程式 [K]{u} {P} ，求位移 {u} [K ]1{P}
（2）计算 P [K ]{u}
s
x
（3）拟荷载代入步骤（s 1）的荷载项，求位移敏感数，
{u}
{u}
s x
s
（1）每次计算过程中刚度矩阵保持不变只进行一次LDL分解即可。
（2）求位移敏感数的过程中只进行回代即可。
[K ]
（3）计算拟荷载
P {u} 过程中只考虑设计变量有关的单元刚度矩阵即可。
s
x
s
方法2（单位荷载法）
假定：设计变量的变化不引起荷载的变化。 [K]{u} {P}
{u}
{u} [K ]1{F}
{u }
{u } j
{u }T
[K ] s {u}
x
x
s
s
方法3
[K]{u} {P}
现改变 i 设计变量
[K ] [K~] [K ] [K i ]
[K i ] ：与 i 设计变量有关的刚度矩阵；
[K~ ] ：改变 i 设计变量后的刚度矩阵；
[K ]{u} [K~]{u~}
（二）震动频率敏感数 （1）改变s设计变量时，n次固有频率敏感度(增量形式)；
( 2 ) 1 {u s}T ( 2[M s ] [K s ]){u s}
n
mn
n
n
n
固有频率减少 固有频率不变
( 2 ) 0 n
( 2 ) 0 n
固有频率增加
( 2 ) 0 n
([
K
]
2 n
[
M
]){un
}
{0}
一）基本概念 目标函数的梯度 约束函数的梯度
目标函数的灵敏度 约束函数的灵敏度
梯度 = 灵敏度 = 敏感度 = 感度 感度系数
l f (x) (f (x) , f (x) , , f (x))
x
x x
x
1
2
n
f (x)
l
, (s 1,2, , n)
s x
s
也可以函数的变化量来表达灵敏度程度（敏感数……）：
[K ] {u} [K ]{u}
x
x
s
s
{u} [K ]1 [K ]{u}
x
x
s
s
j
节点和方向上施加相应的单位荷载，其他节点上施加零荷载，记单位荷载
{E } j
[K ]{u} {E } j
{E } {u}T [K ]T j
{E } {u} {u}T [K ]T [K ]1 [K ]{u}
f (x) (x)
物理意义： 敏感度：表明设计变量的改变对函数变化的影响程度。
二）计算方法
1）拟荷载法 2）单位荷载法 3）有限差分法，直接微分法，伴随变量法…
位移敏感数（感度系数）
方法1（拟荷载法）
假定：设计变量的变化不引起荷载的变化。
[K]{u} {P} 对上式两边求导；
[K ]{u} {P}