第2章混凝土的基本力学性能2.4受压变形一、变形参数1． 弹性模量（1） 定义特点非线性，非常数，与应力水平有关切线模量εσd d E t c =,割线模量 εσ=s c E ,弹性模量 （2） 对应于正常工作应力水平()c f 5.0~4.0=σ（中国规范取c f 5.0=σ）、且接近初始切线模量的割线模量。

用于计算混凝土结构正常工作状态下的变形。

（3） cf c E 5.0==σεσ影响因素混凝土混凝土抗压强度，抗压强度越高，混凝土弹性模量越大，增长幅度逐渐减小。

（4）弹性模量公式混凝土弹性模量（画出曲线）2．峰值应变（1） 定义对应于峰值应力时的应变，一般作为混凝土的极限工作应变。

（2）影响因素● 混凝土抗压强度。

抗压强度越高，峰值应变越大。

● 应变梯度。

应变梯度越大，峰值应变越大。

王传志模型：he f f prepr pre pr 0,,612.02.1+-==εε，对于受弯截面2.1,=pr e pr εε ● 箍筋约束效应。

箍筋约束越强，峰值应变越大。

过镇海模型（箍筋约束指标cy vt f f ρλ=）：当32.0≤t λ时，t p pc λεε5.21+=，当32.0>tλ时，t ppc λεε252.6+-= （3）计算公式（1）定义单轴受力时横向应变与纵向应变的比值（2）特点●非线性ν●压胀，接近峰值应力时，5.0>（3）计算公式二、应力应变曲线 1． 一般规律（1） 典型的非线性；（2） 混凝土强度越高，峰值点越偏移右上，破坏点越便宜左下； （3） 混凝土强度越高，上升段越陡，下降段也越陡。

2． 基本特征（1）0=x 时，0=y ；（2）10<≤x 时，0>dxdy，022<dx y d ；（3）1,1==y x 时，0=dxdy； （4）1>=D x x 时，0122=>D x dxyd ；（5）D E x x x >=时，0133=>E x dxyd ；（6）当x→∞，y→0，dxdy→0； （7）0≥x 时，10≤≤y 。

（1）基本情况● 采用分段表达式，上升段和下降段采用不同形式的多项式。

● 可以反映变形参数随混凝土强度等级的变化● 被中国规范（混凝土结构设计规范）推荐为结构非线性分析采用的模型 ● 被国内外很多研究者采用 （2）模型原型参数定义：0εε=x ，cf y σ=，0==σεσd d E c ，0εcf E ='，σεσd d E t =● 上升段（10<≤x ） 多项式形式：33220x a x a ax a y +++=经概念分析后得到（请证明）：2,23,0320-=-==a a a a a ，0E E a c'=● 表达式最终形式：● ()()32223x a x a ax y -+-+=下降段（1≥x ） 多项式形式：γβα++=x x xy 2经概念分析后得到（请证明）：αγαβ=-=,21表达式最终形式：()xx xy +-=21α（3）过模型及其参数10<≤x 时，()()32223x x x y a a a -+-+=ααα1≥x 时，()xx xy d +-=21α cu a f 01.04.2-=α，905.0132.0785.0-=cud f α，()6010172700-⨯+=c f ε（1） 上升段二次抛物线：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2002εεεεσc f ，或22x x y -= （2） 下降段直线：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0015.01εεεεσu c f 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1115.01u x x y 4．其他模型5．中国规范模型 （1） 上升段：当00εε≤≤c 时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n cc 0011εεσσ（2）下降段：当cu c εεε≤<0时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1100εεσσc c m （3）参数含义及其取值c c εσ,分别为混凝土的应力和应变，0σ为混凝土在应变梯度下的峰值抗压强度，n 为上升段指数，m 为下降段斜率系数。

指数n ：当MPa f k cu 50,≤时，2=n ； 当MPa f MPa k cu 8055,≤≤，)50(6012,--=k cu f n 下降段斜率m ：0=m 峰值应变0ε:当MPa f k cu 50,≤时，002.00=ε，或μεε200010200060=⨯=-； 当MPa f MPa k cu 8055,≤≤，5010)50(5.0002.0-⨯-+=cu f ε 极限应变cu ε:当MPa f k cu 50,≤时，0033.0=cu ε，或μεε3300=cu ； 当MPa f MPa k cu 8055,≤≤，510)50(0033.0-⨯--=cu cu f ε6．模型对比分析广泛应用的Hognestad 模型⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2002εεεεσc f弹性模量：sp c cc c E f fd d E ,000000221212==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====εεεεεεσεσ 峰值割线模量：0,εεccsp c f f E ==2.5受拉变形1． 峰值应变（1） 一般规律● 受拉峰值应变随抗拉强度的提高而提高；● 随着混凝土强度的提高，受拉峰值应变增长的趋势变缓。

（2） 计算公式 过镇海模型:● 以抗拉强度表达：54.06,1065t p t f -⨯=ε● 以立方体强度表达：36.06,1014.3cu p t f -⨯=ε● C40以下混凝土：t p t f 6,1044-⨯=ε 一般结论：6,10150-⨯=p t ε王铁梦模型：影响混凝土极限应变的因素：混凝土强度，加载速度，骨料形状（类型），配筋率配筋对提高混凝土极限应变的机理：调整混凝土内部的应力分布和应力峰值混凝土极限抗拉应变简化计算公式：4101015.0-⨯⎪⎭⎫⎝⎛+=d f t tp ρεMPa 值，：混凝土抗拉强度设计t f：配筋率百分率ρmm ：钢筋直径，d混凝土极限拉应变与混凝土强度等级的关系混凝土极限拉应变与钢筋直径的关系混凝土极限拉应变与配筋率的关系2．泊松比（1）一般规律●上升段，受拉泊松比基本相同，与受压低应力水平时接近；●接近抗拉强度时，受拉泊松比有轻微减小的趋势，与受压高应力水平时相反；●下降段，基本不能测到稳定的受拉泊松比（2）计算公式过镇海：ν实测结果：23=.0.0~17ν简化值：20=.03．弹性模量（1）一般规律●受拉弹性模量随混凝土强度的提高而提高，但提高趋势变缓；●受拉弹性模量和受压弹性模量大致相等；●在全上升段，受拉弹性模量变化不大。

（2） 计算公式 ● 过镇海模型● t f 5.0应力水平割线模量（受拉弹性模量）： ●()2310628.045.1mm N f E t t ⨯+=峰值割线模量：● 2.1,=p t t E E 中国规范模型4． 受拉弹性模量： 5． c t E E =峰值割线模量：6． 0.2,=p t t E E 应力－应变曲线（1） 一般规律● 上升段基本为直线，混凝土强度越高，直线越陡（斜率、弹性模量越大）、峰值应变越大；● 下降段很短，下降段基本为直线，混凝土强度越高，下降段越陡。

（2） 过镇海模型 参数定义：tp x εε=，tf y σ=，2.1,=p t t E E ● 上升段（10<≤x ） 多项式形式：66220x a x a ax a y +++=经概念分析后得到（请证明）：42,456,0620-=-==a a a a a ，2.10==tpt E E a ● 表达式最终形式：● 6242456x a x a ax y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=下降段（1≥x ）多项式形式：()xx xy +-=βα1实验统计后得到：2312.0t f =α，7.1=β过镇海受拉应力－应变曲线模型 当10<≤x 时，62.02.1x x y -= 当1≥x 时，()xx xy t +-=βα1，2312.0t t f =α，7.1=β2.6剪切变形1． 剪切峰值应变 （1）一般规律● 混凝土剪切峰值应变随混凝土强度增长而单调增长，统计规律为峰值应变与抗剪强度呈线性增长关系；● 由于虎克原理的存在，混凝土剪切峰值应变大于相同应力水平下的混凝土单轴受拉应变和单轴受压应变。

（2）计算公式 过镇海模型：● 第一主应变p 1ε：()611028.3390.156-⨯+=p p τε ● 第三主应变p 3ε：()611028.5090.19-⨯+-=p p τε ● 剪应变p γ：()61056.8380.170-⨯+=p p τγ2．剪切模量 （1）基本规律● 混凝土的剪切模量随混凝土强度的增长而单调增长； ● 初始剪切切线模量约为峰值剪切割线模量的2倍；● 按弹性理论计算的剪切模量值在低应力状态下和试验值接近，在高应力状态下远高于试验值。

（2）计算公式 各向同性模型()ν+=12EG 当1=ν时E G 5.0=当2.0=ν时E G 42.0= 当25.0=ν时E G 4.0= ● 正交异性模型● ct t c c t ct E E E E E E G νν+++='实验统计模型（过镇海）峰值割线模量sp G ：pp p sp G τγτ8.17656.83106+== 割线模量s G ：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==328.07.19.1pp sp s G G γγγγγτ切线模量t G ：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==322.31.59.1pp sp t G d d G γγγγγτ初始切线模量0t G ：sp t G G 9.10=3．剪应力-剪应变曲线 （1）一般规律● 上升段低应力水平接近线性，高应力水平为典型非线性； ● 剪切应力-应变曲线界于单轴受拉和单轴受压曲线之间； ● 混凝土强度越高，剪切应力-应变曲线越陡、越高； ● 下降段曲线缺少足够稳定的试验数据支撑。

（2）混凝土剪切应力-应变公式（过镇海模型）上升段；438.07.19.1⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=pp p pγγγγγγττ。