向量法求空间点到面距离（教案）
教材分析
重点：点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤
难点：找到所需的点坐标跟面的法向量
教学目的
1.能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。
2.能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。
3.加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
新课导入：
我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗
对！绕过去。
在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点用另一种方法解决。
我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是
一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。
一、复习引入：
1、空间中如何求点到面距离
方法1、直接做或找距离；
方法2、；等体积
方法3、空间向量。
2、向量数量积公式
a •
b = a b cos 0（0为a与b的夹角）
二、向量法求点到平面的距离
如果令平面的法向量为 n ，考虑到法向量的方向，可以得到点 B 到平面的距离为
_r BA?n
BO=—:—
n
因此要求一个点到平面的距离， 可以分为以下三步：(1)找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量 (2)求出该平面的一个法向量 (3)求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模
思考、已知不共线的三点坐标，如何求经过这三点的平面的一个法向量
? 例1、在空间直角坐标系中，已知A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0,2),试求平面 ABC 的一个
法向量. 解：设平面ABC 的一个法向量为 r n (x, y, z)
r uuu r uuur uuu unr 则 n AB , n AC . v
AB (3,4,0), AC (3,0, 2) • (x, y, z)( 3,4,0) 0即 3x 4y 0 3 y x (x, y, z)( 3,0,2) 0 3x 2z 0 . 4
取x 4,则n (4, 3,6)
3 z x 2
••• n (4, 3,6)是平面 ABC 的一个法向量
例2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为4, E 、F 分别是AB 、AD 的 中点，GC 丄平面 ABCD ，且GC = 2,求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz.
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
F(4,2,0)，G(0,0,2).
uuir uuur
EF (2, 2,0), EG ( 2, 4,2),
uuu
BE (2,0,0)
设平面EFG 的一个法向量
若AB 是平面
的任一条斜线段，则在 Rt BOA 中，BO = BA?COS ABO
BA?BO B A B O BO
剖析：如图，BO 平面 ，垂足为0，则点B 到平面 的距离是线段 BO 的长度。
=网? BA? BO
为n iuU x r y,Z)i u n EF,n EG
2x 2y 0
2x 4y 2
r 1 1
n(3")
|V BE| 2 11 11
点评：斜线段也可以选择 BF 或者BC 都行。
练习1、（06年福建高考题）如图4,四面体ABCD 中，0、E 分别是BD BC 的中点, CA=CB=CD=BD=2 AB=AD=. 2，求点 E 到平面 ACD 的距离.
解：由题设易知 AO 丄 BD , OC X BD, • OA=1, OC= 3 , /. OA 2 +OC ? =AC 2，•/ AOC=90 , 即OA 丄OC.
以O 为原点，OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz ，则 A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, . 3 ,0),D(-1,0,0), •••
可,子,。
),AD”, AC =(。
，、3-1), ED =(-|^,0).
设平面ACD 的一个法向量为n （x, y,z ），则由ngAD 0及ngAC 0,得 取z= -.3,得 n =（- 3,1, 3），于是点E 到平面ACD 的距离为 z
练习2、如图，PA 丄平面 ABC, AC 丄BC, PA=AC=1, BC 二血，求点P 到面PBC 的距离.（答案d 乎） 课下作业、在三棱锥 B ACD 中,平面ABD 平面ACD ，若棱长
AB 1,且 BAD 30°，求点D 到平面ABC
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d 』）
13 板书设计
、复习
a •
b = a b cos 0（0为a 与b 的夹角）
x=-z
§
y= _ d= uujr r _ ED® 巧 721
AC CD AD
的距离。
（答案
a ?b
a 在b上的投影d= a cos 0 =〔
J
b
二、点到平面的距离
AB?n
B到面的距离d=----------
n
小结：向量法求点到面距离三步
（1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量
（2）求出该平面的一个法向量
（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模教学后记：
优点：1•从实际经验引导学生将生活经验用于学习，转换思维；
2•由例题整理步骤，理清思路，便于学生理解；
3•学生掌握很好。