方距向离向是量d＝，|又A→BC|＝，D|C→分|Dn别|·n是|. l1和l2上的任意两点，则l1和l2的
1．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( )
A.3102，2 5 2，－ 22和－3102，－2 5 2， 22
B.3102，2 5 2，－ 22
C.3102，2 5 2， 22和－3102，－2 5 2，－ 22 D.－3102，－2 5 2， 22
1．点点距、点线距、点面距、线线距、线面距、
面面距
2.
→ AM
在平面α的法向量
u
3．点面
4．定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两 条异面直线的__公__垂__线__．
5．定义：两条异面直线的__公__垂__线__夹在这两条异面 直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．
6．设l1，l2是两条异面直线，n是l1和l2的公垂线AB的
(1)因为B→E＝0， 23，0，平面 PAB 的一个法向量是
n0＝(0,1,0)，所以 BE 和 n0 共线．从而 BE⊥平面 PAB.又因
为 BE⊂平面 PBE，所以平面 PBE⊥平面 PAB.
(2)易知P→B＝(1,0，－ 3), B→E＝0， 23，0，
设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 PBE 的一个法向量，
利用空间向量求空间距离
1．空间中的距离主要有：__________________.
2．若已知点A到平面α上一点M的距离，则点A到平 面α的距离AB的长就是向量____________方向上的投影．
3|A．B|线＝面|A→M距|c、os〈面A面→M距，全u〉可或以|A转B|＝化|A为→M|u_|·_u_| _____距来进行 解答．
DA1与AC间的距离为________．
解析：以 A 为坐标原点，A→B，A→D，A→A1分别为 x 轴， y 轴，z 轴正方向，建立坐标系 A－xyz，设 AB＝1，则 A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，
A→C＝(1,1,0)，D→A1＝(0，－1,1)． 设M→N＝(x，y，z)，M→N⊥A→C，M→N⊥D→A1， 则 x＋y＝0，－y＋z＝0，令 y＝t， 则M→N＝(－t，t，t)，而另可设 M(m，m,0)，
E 23，21，0，B→E·E→B1＝ 23，12，0·－ 23，32，0
＝－34＋34＝0，即 BE⊥EB1.
又 AB⊥侧面 BB1C1C，故 AB⊥BE. 因此 BE 是
异面直线 AB，EB1 的公垂线，则|B→E|＝
34＋14＝1，
故异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1. (2)由已知有E→A⊥E→B1，B→1A1⊥E→B1，故二面角
＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，
PA＝ .
3
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A－BE－P的大小．
解析：如右图所示，以A为原点，
建立空间直角坐标系．则相关各点的
坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，
C32， 23，0，D12， 23，0，P(0,0， 3)，E1， 23，0.
BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝
π 3
，求：
(1)异面直线AB与EB1的距离；
(2)二面角A－EB1－A1的平面角的正切值． 解析：(1)作BD⊥CC1于D，以B 为原点，B→D、B→B1、B→A 分别为x，y，z轴
建立如下图所示空间直角坐标系．
由于，AB＝
＝1，∠BCC1＝
π 3
2 ，BB1＝2，BC
在三棱柱 ABC－A1B1C1 中有
B(0,0,0)，A(0,0， 2)，B1(0,2,0)，
C 23，－12，0，C1 23，23，0 设 E 23，a，0，由 EA⊥EB1，得E→A·E→B1＝0， 即 0＝－ 23，－a， 2·－ 23，2－a，0
＝34＋a(a－2)＝a2－2a＋34，
得a－12a－32＝0，即 a＝12或 a＝32(舍去)，故
N(0，a，b)，M→N＝(－m，a－m，b)
－m＝－t a－m＝t b＝t
，N(0,2t，t)，2t＋t＝1，t＝13，
∴M→N＝－13，13，13，|M→N|＝
答案：
3 3
19＋19＋19＝
3 3.
空间向量平行与垂直条件的应用
在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E
为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB＝ 2 ，
A－EB1－A1 的平面角 θ 的大小为向量B→1A1与E→A的夹角．
( 因B→1A1＝B→A＝ 0，0， 2)，E→A＝(－ 23，－12， 2)，
→→
故
cos
θ＝
EA·B1A1 →→
＝
|EA||B1A1|
36，即Biblioteka tanθ＝2 2.
2．如右图所示，四棱锥P－ABCD
的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：①②③错，④对． 答案：C
3．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)， C(0,5,1)，则BC边上的中线长为( B )
A．2
B．3
C．4
D．5
空间向量的坐标运算 如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩
形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝ 3 ，BC＝1，PA＝2，E为
则有nn11··PB→ →BE＝＝00
x1＋0×y1－ 3z1＝0，
，得 0×x1＋
23y1＋0×z1＝0.
所以 y1＝0，x1＝ 3z1.故可取 n1＝( 3，0,1)． 而平面 ABE 的一个法向量是 n2＝(0,0,1)．
于是，cos〈n1，n2〉＝|nn11|··n|n22|＝12. 故二面角 A－BE－P 的大小是 60°.
解析：与向量a共线的单位向量为±
a |a|
.
答案：A
2．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，下列叙 述中正确的个数是( )
①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x，－y，z)
②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x，－y，－z)
③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x，－y，z)
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)
从而A→C＝( 3，1,0)， P→B＝( 3，0，－2)． 设A→C与P→B的夹角为 θ，则 cos θ＝A|→A→CC×||P→P→BB| ＝2 3 7＝3147，
∴AC 与 PB 所成角的余弦值为3147.
(2)由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为 (x,0，z)，则
N→E＝－x，21，1－z，由 NE⊥面 PAC 可得，
PD的中点． (1)求直线AC与PB所成角的余弦值； (2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到
AB和AP的距离．
解析：(1)建立如下图所示的空间直角坐标系，则 A，
B，C，D，P，E 的坐标为 A(0,0,0)、B( 3，0,0)、
C( 3，1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E0，12，1，
N→E·A→P＝0， N→E·A→C＝0.
－x，12，1－z·0，0，2＝0，
即
－x，12，1－z· 3，1，0＝0.
z－1＝0， 化简得－ 3x＋21＝0.
∴x＝
3 6
z＝1
即 N 点的坐标为 63，0，1，从而 N 点到 AB 和 AP
的距离分别为
1，
3 6.
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线