球面上面元对 球心 的立体角
另一种情况是P点在闭合面外，如图（b）所示，不难看出它所 张的立体角为零，这是因为闭合面的两部分表面的立体角等值 异号的原因。 现在证明高斯定律。先研究一个点电荷q(在闭合面内)的情况
上式中间部分积分号内是面元对点电荷q所张的立体角，积分是 闭合面对q所张的立体角。由于闭合面对面内一点的立体角为 4π，上式变为：
高斯定律应用举例
example 2.5
半径为a的导电球壳上均匀分布面密度为ρ的电荷，求球壳内外 的电场强度和电位。
解：
由于在导电球壳上，电荷是 均匀分布的，因此电场具有 球对称分布的特点，利用 高斯定律，使圆心与导电球 壳圆心重合，半径为r的球面， 称为高斯面，求电场对高 斯面的面积分，对于相同半 径的高斯面，电场的模相等， 方向与高斯面的方向相同， 因此，当r>a时，有
考虑到 即
值得注意的是，对合成场的积分是对源点的积分，而场点 则是常数。因而
对上面两式从θ1到θ2积分，有
当带电直线为无限长时，有
得到
example 2.2
计算一个均匀分布电荷的圆盘轴线上任一点的电场强度，圆盘 半径为a，电荷密度为ρs(C/m2)。
解： 将圆盘划分成半径为r，宽度为dr的细圆环，如下
即：（1）点电荷：
（2） 体电荷：
（3） 面电荷：
（4） 线电荷：
example 2.7
证明导体表面的电荷密度ρs与导体外的电位函数有如下关系
example 2.4
真空中半径为a的介质球内均匀充满了电荷，体电荷密度ρ＝ρ0。试 计算球内、外的电场
解： 设想划分出一个半径为r‘，厚度为
dr’的微分球壳，如右图所示。球 壳内的电荷量为:
dq 4r2 0 dr
当dr’很小时可认为dq均匀分布在薄层球面上 等效的面电荷密度为
dq s 0 dr 2 4r
1、 点电荷的电场强度：
考虑到算符
点电荷的电场强度可表示为：
令场坐标（x，y，z）或r，源点的坐标为（x',y',z')或 r'，则点电荷的场又可表示为:
2、 电荷分布于某一区域时的电场强度表达式
（1）离散电荷分布：
（2）体电荷分布： 体电荷密度ρ定义为
其中ρ（x’，y’，z’）为 体电荷密度。
注：D的面积分 s D ds 称为电通量
根据电场强度的性质，可很容易的得出真空中电位移的定义：
因而，点电荷周围的电位移为： D
用电位移矢量表示的高斯定理
D 0E
q aR 2 4r
D ds Q
s
其微分形式：
D v

v d Q E ds
s
0
0
于是得到高斯定律的微分形式
3、电位移矢量与高斯定律
电位移矢量(电通密度) 当我们研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不 能完全反映物质内发生的静电现象。
因为当物质内存在电场时，构成物质的带电粒子将在电场强度的 作用下出现运动或移动、这就需要另一个场变量夹描述这一现象 的本质。电介质内的束缚电荷在电场作用下会出现位移现象。一 般用单位面积上位移穿过的束缚电荷量来表示电场的另一 基本变量，称为电通[量]密度(或电位移)，并用D表示．其单位 为C／m 2。 早期得出关于电位移的性质如下： 1、它与介质无关； 2、它的大小仅与产生它的源电荷有关； 3、如果一个点电荷被一个半径为R的球面所包围，则电通量 垂直且均匀通过该球面 4、电通密度（单位面积上所通过的电通量）反比于R2
不同条件下电场和电位的计算方法 ——矢量的微分与积分
本章具体内容：
2.1 静电场基本方程 2.3 泊松方程和拉普拉斯方程 2.5介质中的高斯定理.边界条件 2.7 导体系统的电容 2.2 电位的引入 2.4 唯一性定理 2.6 恒定电场的基本方程 2.8 电场能与静电力
§2.1 电场强度
一、库仑定律 (Coulomb’s Law)
解:
导体的电荷是分布于导体表面的。 孤立的带电导体球的电荷必定均 匀分布于球表面上，电荷面密度 为常量，有
Q s ( ) 4a 2
采用球坐标，令极轴通过场点P，P点 处的电场为
2
1 R 2 E (r ) d 0 s R3 a sin d 4 0 0
孤立带电导体球
因不同φ ’的面元点电荷在场点产生的合成场只沿极轴方向， 即z方向，故矢量求积分时仅取z分量积分
a 2 s E Ez 2 0
由于


0
a2 s cos sin d 2 R 2 0


0
cos d cos 2 R
所以
a s Ez 4 0 r r a 1 z R2 r s a2 Q 2 0r 4 0 r 2
2 rz 2
a s r a dR R 4 0 r 2 R
2
2
r a
r a
（r＞a)
对于r＜a的球内区域．积分的下限应改为(a-r)、这样积分结果
a s r a R Er 2 4 0 r R
2
2
0 a r
如图示，设真空中两点电荷q1和q2间的距离为R，则点电荷q2 所受到q1的作用力为：
其中： 真空中的介电常数
是从q1指向q2的单位矢量，
109 F m 36


由此说明，在带电体周围空间，确实 存在着一种特殊形式的物质．当电荷 或带电体进入这个空间时、将受到力 的作用。我们把电荷周围存在的特殊 物质称为电场。电场对电荷的作用力 称为电场力。
Chapter 2 静电场与恒定电场
本章基本内容：
(1）静电场与恒定电场的基本方程
（2）静电场与恒定电场的边界条件
（3）静电场与恒定电场基本解法
本章重、难点：
（1）基本定律和基本方程：
库仑定律与高斯定律，电流连续性定律,泊松方程与 拉普拉斯方程. 唯一性定理; 不同介质分界面的边界条件
（2）难 点：
当点电荷在闭合面外时，则由于闭合面对面外点的立体角为 零，故闭合面的电场的通量为零。 如果闭合面内有N个点电荷q1、q2、...qn时，则从闭合面穿出的 通量等于各点电荷产生的通量的代数和，即
当把上式的点电荷q用体电荷密度、面电荷密度或线电荷密度代 替，就可将上式推广应用与体电荷、面电荷和线电荷的情况。 对于体电荷，闭合面s包围的总电荷为 因此有
§2.2 高斯定律
1、高斯定律
电场E沿闭合面的通量恒等于闭合面所包围的电量，与真空中的 介电常数的比值，即
利用散度定理，
1 E ds Ed 0 v d s
得出高斯定理的微分形式:
（因积分区间是任意的）
2、高斯定律的证明
以o点为球心，o点到ds的距离R为半径作一个面．取 立体角 ds在球面上的投影 与R2的比值，即为面元对o点 所张立体角
a
0
0 2 0 a Q r dr 2 2 0r 3 0 r 4 0 r 2
ra
E (r )
r r
0
0 2 0 r r 2 0 r r dr r dr 2 2 0 0r 0r 3 0
ra
电场强度在球面处没有发生跃变。为什么？
当积分路径是闭合回路，即A、B两点重 合时、得到 计算电场的线积分
上式虽然是从点电荷的电场中得到的结论，但很容易推广至任 意电荷分布的电场中，所以上式表示了静电场的一个共同特性 一守恒持性。。 以电场力作功为例，当一试验电荷q在电场中沿闭合回路移动一周 时，电场力所作的功为
利用斯托克斯定理上式可以写成
D ds 4r 2 Dr s ds 4a 2 s Q
s s
当 r<a 时，有
D0
example 2.6
求无限长直线电荷的电场。
解：
设无限长直线电荷的线电荷密度为ρl，,与Z轴重合，如 图所示
做半径为r，长度为单位1的 圆柱封闭面，显然由于电 荷是轴对称分布的，因 此电场分布也是轴对称的， 显然，圆柱封闭面的顶面和 底面的电场的通量为0，侧 面的电场通量为
由于上式中回路c及其所限定的面积S是任意的，故有
E 0
D v
2、电位的定义
静电场的两个基本方程：
E 0
由于静电场是一个保守场，因此，可以用一个标量场的梯度来 表示（矢量恒等式），这个标量场我们称为电位，它定义为：
显然，由于电位是一个标量函数，其求解过程一般来说较之电场 来说要容易。因此，在许多静电场问题中，人们往往先求出电位函 数，再根据电场和电位的关系求出电场强度。在直角坐标系下，有
值得注意的是，库仑定律是一个实验定律。实验证明：对 可测定的R值，在1/109米的精度下证明库仑定律是满足平 方反比规律的，它仅在带电体尺度远小于它们之间的距离 时才严格成立。
二、电场强度（electric field intensity）
设在电场中某点处，一个试验电荷受力为F，则该点的电场为：
其中：F的单位为牛顿（N）；q的单位为库仑（C）；E的单位 为伏特/米（V/m） 指的是该电荷的引入不致影响场源电荷的状态 实验电荷： 所以，在E的定义式中，令q→0，由电场强度的定 义可以得出：
ar
(r＜a)
对于球外区域的电场分布和点 电荷Q位于球心处的电场分布相 同。所以在计算球外电场时， 可直接套用集中在球心处的点 电荷Q所产生的电场公式。导体 球内电场为零，在r=a处电场由 零跃变为ρ s/ε 0，恰好球面上 有面电荷存在。由此推 论．电场不连续的面积处将出 现面电荷。
带电导体球的电场分布
图所示，显然细圆环，在圆盘轴线上产生的电场只有z 方向分量，即：