张量的加法和乘法运算与矩阵运算一一对应。
求迹运算，即缩并，对应于求3 矩阵的对角线元
素之和。 二阶张量与矢量的点积，即线性变换。例如：
w T u
该运算具有线性性质：
T (u v) T u T v
两个二阶张量的点积
只有取 2 ，3 矩阵时，才与矩阵乘法相对应。
二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算 6 例如，并乘运算。
(J1 )3
1 2
J1
J
2
1 3
J
3
以及
J1 J1
J
2
( J1 )2
2J2
J
3
( J1 )3
3J1J2
3J3
12
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T与三个线性无关矢量间的线性变换
T u v w u T v w u v T w J1T u v w
T u
T v
wu
T v
T w T u
v
T
w
J
T 2
u
v
w
T u
T v
T
w
J
T 3
u
v
w
.
正则二阶张量，有Nanson公式
T
u
T
v
J
T 3
TT
1 u v
13
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
.
➢ 实对称二阶张量的标准形
• 简单的例子
复杂应力状态分析中的主应力
σ ijeie j
σ 1e1e1 2e2e2 3e3e3
正则与退化的二阶张量
➢ 行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称 为退化的。
.
➢ 二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。 • 任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：T 0 0
• 任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
l
(i)u(i) 0
i 1
0
T
l i 1
.
➢ 实对称二阶张量的标准形
存在以下等式：
N
g1
N 1 1
g1
N a a
N
g2
N 2 2
g2
特征方程，λ即N的特征
N g3 N特33 g征3 值为什么值是，三a即个N？的特征向量。
Nija j ai
分量形式
(Nij ij )a j 0
利用指标升降关系
det( Nij
i j
)
0
a为非0矢量
.
第2章 二阶张量
2021年3月16日
1
主要内容
.
二阶张量的矩阵
正则与退化的二阶张量
二阶张量的不变量
二阶张量的标准型
几种特殊的二阶张量
二阶张量的分解
正交相似二阶张量
2
二阶张量的矩阵
.
➢ 二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式
T
Tij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
(i)u(i)
l
(i)(T
i 1
u(i))
7
正则与退化的二阶张量
.
• 3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
T u T v T w detT u v w
➢ 正则二阶张量的特性：
• 正则的二阶张量T的转置张量TT也是正则的，正则的 二阶张量T存在唯一的逆T-1。
• 二阶张量T是正则的充要条件是 T u 0，当且仅当
u 0。
• 单射性。若 T u T v ， 则 u v
8
• 满射性。若 T u w，则存在唯一的逆变换 T 1 w u
.
二阶张量的不变量（代数）
➢ 力学是用张量的不变量写成的！
➢ Gorldan猜想：代数结构中有无穷多不变量，但基 本不变量只有有限个。
通常定义
T 3
的行列式为张量T的行列式
det T
det(
T 3
)
T
i j
det T T
由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以
det(1T
T
)
det(
T 1
),
det(
T 4
T
)
det(
T 4
)
det(
T 2
T
)
det(
T 3
),
det(
T 3
T
)
det(
T 2
)
5
.
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
(
N 2
)T
,
N 4
N 4
T
(
N 4
)T
➢ 反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
ij ji
j i
i j
i j
ji
ij ji
1
1
T
(1
)T
,
2
(
3
)T
,
3
(
2
)T
,
4
4
T
(
4
)T
4
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的行列式
.
det(1) g det( 2 ) g det(3) g 2 det( 4 )
15
()
3
J1N 2
伟大的抽象代数之母诺特，石 破天惊的思想： 任何对称性，都对应某种形式 的守恒律！！
9
埃米·诺特 Emmy Noether （1882-1935）
.
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T的标量不变量：
G
:T
G
T
Tii
tr(T )
C1
T i i
（力学中，11 22 33 对应静水应力）
T
:T
gi
g
j
T ij gi g j
➢ 以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式
1 Tij
2 Ti j
3
T
i j
4 T ij
其中， 3矩阵是最重要的张量矩阵。
➢ 二阶张量的转置张量
WHY?
T T Tji gi g j Tij gi g j Tji gi g j T ji gi g j
3
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的转置张量所对应的矩阵
TT 1
(
T 1
)T
TT 2
(
T 3
)T
TT 3
(
T 2
)T
TT 4
(
T 4
)T
.
➢ 对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
Nij N ji
N
i
j
Nij
Nij
N
i j
N ij N ji
1N
N 1
T
(1N
)T
,
N 2
(
N 3
)T
,
N 3
应力张量的三个主方向是正交的。
• 对称二阶张量 N Nij gi g j 必定存在一组正交基矢量 g1 ，g2 ，g3 ，使得
N
N 1 1
g1
g1
N 2 2
g2
g
2
N 3 3
g3
g
3
则 N11，N22，N33 为N的主分量，g1 ，g2 ，g3为N的主方向14 。
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
T
Ti j
j i
tr(T
T)
C2
T
Ti j
j i
ijk
T T T lmn i j k l m n
C3
10
二阶张量的不变量（代数）
.
➢ 二阶张量T的三个主不变量：
J1
G :T
Ti l
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )
➢ 二阶张量T的矩：
J1 tr(T ) Tii

2
tr(T
T)
T
Ti j
j i
J
3
tr(T
T
T)
T
T T i j k
j k i
11
二阶张量的不变量（代数）
.
➢ 二阶张量T的三个主不变量与各阶矩之间的关系
J1 J1
J2
1 2
(J1 )2
J
2
J3
1 6