0
1
A对应于1 2 1的全部特征向量为
0 1 k1p1 k2p2 k1 1 k2 0. 0 1
(其中k1 , k2为不全为零的任意常数)
对3 1，解( A I )x 0,
1 A I 0
3)线性性(x, y) (x, y) (x, y); (x y, z) (x, z) (y, z);
（2）向量的长度
定义3 向量的长度
x (x, x) x12 x22 L xn2 , 称为n维向量x的长度..
当 x 1时，称x为单位向量.
向量长度的性质：
对1 2 3 1, 解( A I )x 0,
~ 3 1 2
A I 5 2 3
1 0
0 1
1 1
x1 x3
得

x
2

x3
1 0 1
0 0 0

x3

x3
得
到
一个基础
解
系为p


1 1,
1
A对应于1 2 3 1的全部特征向量为
kp

k

1 1
(k

0的任意常数).
1
注：1)若0为单根，基础解系含一个解向量； 2)若0为k重根，基础解系含解向量的个数 k；
即方阵A的k重特征值不一定对应k个线性无关 的特征向量。
阵 A 的对应于特征值λ的特征向量.
例如

2 2
1312 412
a11 (1) f ( ) A I a21
an1 称为A的特征多项式.
a12
a22
an2
a1n a2n
ann
(2) f () A I 0称为A的特征方程.

两两正交，
s
则称向量组1， 2， s为正交向量组.
n阶方阵A为正交矩阵 它的行（或列）
向量组是两两正交的单位向量组.

T i

i
1
iT j 0
1 ai1a j1 ai2a j2 L ain a jn 0
(i j) .
(i j)
正交向量组有以下性质：
定理 1 正交向量组一定是线性无关的.
定理
2
如果r个n维非零向量1 , 2
,
,
构成
r
正交向量组，且r n,则必有n维非零向量x,
使x与1,2 , ,r都正交.
证 x应满足齐次线性方程组：
12rTTTxxx
0, 0,
0,
即
12TT
x
对1 2 1, 解( A I )x 0,
~ 1 0
AI 0 0
1
0
1 0
0 0
1 0

x1

x2

x2
x3
1
0 1

0
0
0


x3

x3
0
1


得到一个基础解系为p1 1, p2 0,

3 1
111100
5100

1 1

13,


1 4

3 5100 1 5100
3 3 13
5100 5100
.
3 3 5 设A x 4 y
1 1 1
例（3 2000年四）（9分）
(3)特征方程的解i (i 1, , n)称为A的特征值.
(4)将特征值i代入方程，则( A i I ) x 0有非零解, 此方程的非零解称为A的对应于i的特征向量.
求特征值和特征向量的步骤：
(1) 求出A的特征方程A I 0的全部根，
即为A的全部特征值;
(2) 对A的每一个特征值i，求出( A i I )x 0 的非零解，即为A的对应于i的全部特征向量.
设 A、B 都是 n 阶方阵，若存在可逆方阵 P，使
P -1AP=B
则称 A 与 B 相似，或称 B 是 A 的相似矩阵.记作
A∽B 对A进行的运算P 1 AP称为对A进行相似变换.
相似矩阵的性质:
(1)自反性：A ~ A; (2)对称性：若A ~ B，则B ~ A; (3)传递性：若A ~ B，B ~ C则A ~ C; (4)若 A∽B，则 A B , r(A) r(B).
A I 0 0 0 0 0 0
1 0 1

0
0
0

x1


x2

x2
x3
0 令p1 1,

x3

x3

0
1

p2 0,

1
对3 1，解( A I )x 0,
1 A I 0
(5)若 A∽B，则A 与 B 的特征多项式相同，特征值相同.
λ1
推论:若n阶方阵A与对角阵Λ=
λ2






O
λn

相似，则1, 2 , , n就是A的n个特征值.
例 设A 10
12,
B


1 0
21, 试证不存在可逆矩阵
P，使P 1AP B.


第四章
重点：
矩阵特征值、特征向量的概念及求法， 矩阵对角化的条件， 用正交变换化二次型为标准型
难点：
用正交变换化二次型为标准型
§4.1矩阵的特征值与特征向量
一、概念
Def 特征值和特征向量
设 A 为 n 阶方阵，如果对于一个数λ，存在一个
n 维非零列向量 x,使得 Ax x 成立，
则称数λ为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为方
例1.求
矩
阵A


0 0
0 1
1 0
的
特
征
值
和
特
征
向
量.

1
0
0

解 A的特征方程为
0 A I 0 1
1

0 (1 )
1
1

1 0
(1 )( 1)( 1) 0
A的特征值为：1 2 1, 3 1,
二、特征值与特征向量的性质
（1）n阶方阵A与它的转置矩阵AT 有相同的特征值.
(2)设i (i

1,2,
,
m
)是方阵A的特征值，p
是对应于
i
i的特征向量.若1 , 2 , m互不相等，则p1 , p2 ,
, p m线性无关.
例3.设是 方 阵A的 特 征 值 ， 证 明 ：(1)k是kA的 特 征 值 ；
0的常数).

1

例2.求
矩
阵A


2 5
1 3
2 3
的 特 征 值 和 特 征 向 量.
1 0 2
解 A的特征方程为
2 1 2
A I 5 3 3 ( 1)3 0
1 0 2
A的特征值为：1 2 3 1,
特征值相同是相似的必要条件，但不是充分条件。
二、矩阵的对角化
定理 n阶方阵A ~
A有n个线性无关的特征向量.
相似变换矩阵P的列向量就是A的n个线性无关 的特征向量. Λ的对角元是A的n个特征值
定理3 若n阶方阵A有n个不同的特征值
1, 2 , , n , 则 A 可对角化.
1
1)非负性 x 0;
2)齐次性 x x ;
3)三角不等式 x y x y . 4)设A是n阶正交矩阵，x是n维列向量，
则 Ax x .
因此正交矩阵A作用于向量x不改变向量长度.
（3）正交向量
定义4 正交向量
若(x, y) 0，则称x与y正交.
定义5 正交向量组
若非零向量组1， 2，
1

即
P
1
AP





2



n
其中，1 , 2 , , n ,是A的n个特征值，
P是由n个线性无关的特征向量作为 列向量所构成的矩阵.
例1.将
矩
阵A


0 0
0 1
1 0
相 似 变 换 矩 阵.
10相 似 对 角 化并，写 出 0

即
A
~


2



n
A 有 n 个不同的特征值是 A 可对角化的充分条件， 但不是必要条件.
将方阵A化为对角阵的步骤：
1)求出方阵A的特征值和特征向量；
2)判 断A能 否 对 角(是 否 有n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量)；
3)若A能 化 为 对 角 阵则，写 出 与A相 似 的 对 角 阵.
AP


1 0
0 1
0 0 .

0
11Leabharlann 00
1
1 0 1
1 0 0




若令P ( p3 , p1, p2 ) 0 1 0, 则 P 1AP 0 1 0.

1
0
1


0
0 1
说明与A相似的对角阵不唯一，但对角元都是 A的特征值，只是次序不同.