自选课题：等比数列的前n项和教学设计1．教学内容解析本节内容为现行人教A版《必修5》的第二章的核心内容，它在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中．数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型．在现行教材的编排中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值．课标要求：学生经历等比数列前n项和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用．等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，主要是因为它与函数、等差数列的内在联系，尤其是它在数学史上的历史印迹，以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。
基于以上分析，本节课的教学重点为：等比数列前n项和公式的导出及其应用。
2.学生学情分析本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班，夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中，学生有较好的数学学科基础．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导．然而，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，对学生的思维能力提出很高的要求．另外，对于q = 1这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视．教学对象刚进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。
基于以上分析，本节课的教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导。
3. 教学目标设置（1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等比数列前n项和公式的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。
（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。
（3）学生在经历等比数列前n项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特殊到一般、方程与函数、划归与转化等数学思想，形成基本活动经验，重点提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。
4. 教学策略分析等比数列前n 项和公式是高中数学的重要内容，普遍采用的推导方法是带有技巧性的“错位相减法”，求和公式及其推导方法都是教材和教师直接“告知”，并非自然产生。
有鉴于此，本节课追寻历史足迹，借鉴历史规律，揭示知识之谐，展现方法之美，引发情感之悦，营造不一样的课堂．“让学习真正发生”，首先在于教师有“让”的意识，本节课为了做到 “教师在后、学生在前”，教师先给充分的资料和空间让学生自学和互学，营造积极的探究氛围，在课堂上展开小组谈论和交流，碰撞出思想与智慧的火花。
教学流程：5．教学过程设计环节一：演史剧，发现等比数列提出问题学生表演国际象棋的传说（棋盘丢麦粒问题）并设计如下问题串：问题1：故事里每格棋盘上的麦粒依次构成一个什么数列？生1：首项为1，公比为2的等比数列问题2：铺满这64格棋盘需要的麦粒总数是多少？生1：可以看成是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和即2631222++++师：2631222++++等于多少，逐项相加吗？ 生2：项数多，不太现实，我觉得可以和等差数列求和一样，从特殊到一般，找规律 师：如何找规律？请大家尝试一下.生3：我是这么想的，计算出123451371531S S S S S =====，，，，，发现它们都是21n -的形式，因而我猜想646421S =-.【设计意图】通过学生表演国际象棋的传说激发学生的兴趣和探究欲望，通过一系列的问题将故事情节与相关知识点联系起来，从情景中看到数学问题.通过结论的探求让学生学会研究陌生问题，可采用特殊到一般的方法入手。
情境性“问题串”设计要体现情景性，一般来说要具备三个要素：（1）涉及未知领域，能启动学生思维；（2）具有真实性，让学生觉得亲切、自然；（3）基于学生已有的知识水平.这样的问题情境能激发学生学习新知识的好奇心和求知欲，引发学生自主探究，让学生等比数列前n 项求和公式 猜公式 证公式 用公式在解决问题中顿悟，提高学习新知的能力.环节二：试猜想，提炼等比求和公式师：若将公比变为q ，项数变为n ，你觉得211n q q q -++++的结果是？生4：1n q -生5：我觉得生4不对，很明显如果3q =，2n =时，结果就不对．师：说明我们仅由2q =的猜想太过片面，为了使得结果具有更加说服性，请大家完成以下表格？211333nX -=++++ 11444nY -=++++ 师：根据大家所填的表格，你能够猜想出结论吗？生6：21111n n q q q q q --++++=- 师：大家都同意上述结果吗？有没有需要注意的地方？生7：我觉得不能代表1q =时的求和公式，当1q =时，由于相同数的累加即为乘法，很容易得出结果为n .师：若将首项改为1a ，你能计算出112111-++++=n n q a q a q a a S 的结果吗？生8:可以观察发现每项都有1a 提取公因式1a 变为)1(121-++++=n n q q q a S 即可转化为刚刚的问题.师：那么等比数列求和公式是什么？生9：：1=q 时数列的每一项都相等，11111na a a a a S n =++++= ，当1≠q 时， 112111-++++=n n q a q a q a a S 1)1()1(1121--=++++=-q q a q q q a n n 师：我们可以将这两种情况写成什么样的形式？生10：分段函数，即⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(1,11q q q a q na S n n 【设计意图】本环节的目的是为了让学生合理的猜出数等比数列的前n 项和公式．通过对棋盘故事的深入探讨，从公比为2，到公比为3,4直至公比为q ，这样从具体到抽象，由特殊到一般符合教学的一般规律，让学生真正意义上参与到公式的猜想中去，感受知识的生成过程．环节三：巧变形，证明等比求和公式师：通过同学们的共同探索我们得到了等比数列前n 项和公式．（板书公式）师：猜想是创新能力的一部分，同学们刚才的猜想思维活跃，灵活有序，表现太精彩了，这个猜想你们觉得可靠吗？（齐答：不可靠）数学是一门严谨的学科，任何公式的猜想都需要严格的推导和证明．下面请同学们结合课前的预习，将自主探究的成果在小组内分享和交流，和组内成员一起来揭示这个公式的证明过程．（等待1-2分钟）生11：通过预习课本，我知道了错位相减法，这种方法是18世纪瑞士大数学家欧拉在《代数学基础》中采用的．具体做法如下11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S两边同乘以q 得n n n q a q a q a q a q a qS 11131211+++++=- 往后错一位相减可得)11)1(1≠--=q qq a S n n （其他小组有没有需要补充的或者存在疑惑的？ 生12：我有点困惑，为什么想到两边同乘以q 呢？生11：因为根据等比数列的定义，后一项是前一项的q 倍，乘以q 后前一项就变成了后一项，那中间很多项相同了，这样就可以达到消项的目的，只剩下很少的几项，就可以运用累加法．生13：根据等比数列定义，既然刚才能同乘以q ，那么我觉得两边同乘以q1． 师：大家觉得行吗？还可以乘以什么生14：乘以q -也可以.师:很好，往前错位和往后错位本质都是一样的利用了等比数列的定义，来消掉了中间的很多项，看来你们已经掌握了错位相减的本质，有没有其他不同的推导方法的？生15：我用的是掐头去尾法，这种方法是18世纪法国数学家拉克洛瓦给出来的具体做法如下：2111112111--+++=-+++=-n n n n n q a q a a a S q a q a q a a S ， 发现)(1n n n a S q a S -=-化简可得)11)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n （ 师：也很好，其他小组有没有需要补充的？学生16：我们小组成员也另外一种不同做法，提取因式法，这种方法的原理古埃及人和印度人早已掌握，但他们没有我们今天的代数符号，古埃及人未能获得求和公式．受古人原理的启发，我们的具体做法如下：1121111112111)(---+=++++=++++=n n n n qS a q a q a a q a q a q a q a a S再利用n n n a S S +=-1相当于两个方程解两个未知数，可以得到)(1n n n a S q a S -+=从而求出qq a q q a a S n n n --=--=1)1(111 师：这个推导过程，有没有细节上的问题？生17：第一个公比不能等于1，还有证明中用到了n n n a S S +=-1要强调n 大于等于2. 师：方法巧妙，补充也很正确，同学们以后在书写过程中一定要特别注意细节．还有没有不同的想法的？生18：我们小组经过讨论用的是等比定理法具体做法如下： 根据等比数列的定义)212312≥====-n q a a a a a a n n （ ，再利用合比定理可以得到q a S a S q a a a a a a a a nn n n n =--=++++++++-11321432可得 从而求出)11)1(111≠--=--=q q q a q q a a S n n n （我们惊喜的发现，这种方法古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中用过．师：很好，观察很仔细．同学们刚才展示了四种不同时期不同数学家的证明方法，请同学们相互之间再交流下，你们觉得这四种证法都用了哪些数学思想？生19：我觉得第1种方法用到了方程的思想，得到关于1-n n S S 与的两个方程来求n S 生20：我觉得后三种方法都用了等比数列的定义．师：同学总结的都很好，其实四种方法都用了等比数列的定义．在数学发展史上一些伟大的数学结论都来源一些经典的猜想和数学家呕心沥血，前仆后继的不断思考，探究和证明．今天同学们的精彩表现展示了这一艰辛的历程，所有数学发现都为我们实际应用带来了巨大的方便．【设计意图】本环节的目的是让学生收集资料证明公式，深入挖掘公式背后的隐性价值．让学生质疑，提炼本质，重视细节．其中错位相减法这种消项的方法也是后面解决差比型数列求和的一种有效方法，而等比定理法也对合分比性质做了一个巩固，当然这其中还有很多的证明方法，如裂项等；并从中感受对公式变形的本源性思想。