一、次数问题…0624．（20分）如图9所示，在水平地面上放置一块质量为M 的长平板B ，在平板的上方某一高度处有一质量为m 的物块P 由静止开始落下。

在平板上方附近存在“相互作用”的区域（如图中虚线所示区域），当物块P 进入该区域内，B 便会对P 产生一个竖直向上的恒力f 作用，使得P 恰好不与B 的上表面接触，且f ＝kmg ，其中k ＝11。

在水平方向上P 、B 之间没有相互作用力。

已知平板与地面间的动摩擦因数μ＝2.0×10－3，平板和物块的质量之比M /m ＝10。

在P 开始下落时，平板B 向右运动的速度v 0＝1.0m/s ，P 从开始下落到进入相互作用区域经历的时间t 0＝2.0s 。

设平板B 足够长，保证物块P 总能落到B 板上方的相互作用区域内，忽略物块P 受到的空气阻力，取重力加速度g ＝10m/s 2。

求：（1）物块P 从开始下落到再次回到初始位置所经历的时间。

（2）从物块P 开始下落到平板B 的运动速度减小为零的这段时间内，P 能回到初始位置的次数。

解：（1）物块P 进入作用区速度v 1，01gt v =＝20m/s 物块P 从进入相互作用区域到速度减小为零的过程中，设加速度为a ， 根据牛顿第二定律：ma mg kmg =-设下落时间为t ， av t 1=而物块从开始下落到回到初始位置的时间T ＝2(t ＋t 0)=012t k k-＝4.4s 。

（2）设在一个运动的周期T 内，平板B 的速度减小量为Δv ，根据动量定理有v M t f Mg t Mg ∆μμ=⋅++⋅2)(20 解得 1)1(20-+=k M m gkt v μ∆＝9.7×10－3m/s 。

P 回到初始位置的次数 vv n ∆0=＝10.3， n 应取整数，即n ＝10。

注：若用牛顿第二定律解答，可以根据解答过程给分。

‘11石123．一轻质细绳一端系一质量为m =0.05kg 的小球A ，另一端套在光滑水平细轴O 上，O 到小球的距离为L = 0.1 m ，小球与水平地面接触，但无相互作用。

在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，二者之间的水平距离s =2m ，如图所示。

现有一滑块B ，质量也为m ，从斜面上高度h =3m 处由静止滑下，与小球和挡板碰撞时均没有机械能损失。

若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，滑块B 与水平地面之间的动摩擦因数μ=0.25，g 取10 m/s 2。

求：（1）滑块B 与小球第一次碰撞前瞬间，B 速度的大小；（2）滑块B 与小球第一次碰撞后瞬间，绳子对小球的拉力；（3）小球在竖直平而内做完整圆周运动的次数。

解： （1）（4分）B ，下滑h +2s →碰A ，∵动能定理 mgh -μmg 2s =2021mv∴ v 0=55≈7.4m/s（2）（6分）B 与A 第一次 完全弹碰：mv 0=mv A +mv B2021mv =221A mv +221B mv ∴ v A =v 0；v B =0A 以v 0绕O 圆运动，最低点 ∵牛二律T -mg =m Lv 20∴ T =28N（3）（8分）A 球最后一周完整圆运动，最低点v 1→最高点v 2：∵机械能守恒和牛二律2121mv =mg 2L +2221mv mg =m Lv 22∴ v 1=5m/s由于B 、A 弹碰速度互换，B 滑过s 总碰A 时速度至少为v 1=5m/s∵ 动能定理：mgh -μmg s 总=2121mv∴ s 总=11m A 完整圆运动次数：n =ss 2 总+1=6次二、归纳法问题‘10西24．（20分）在如图所示的x-o-y 坐标系中，y>0的区域内存在着沿y 轴正方向、场强为E 的匀强电场，y<0的区域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场。

一带电粒子从y 轴上的P （0，h ）点以沿x 轴正方向的初速度射出，恰好能通过x 轴上的D （d ，0）点。

已知带电粒子的质量为m ，带电量为 – q 。

h 、d 、q 均大于0，不计重力的影响。

（1）若粒子只在电场作用下直接到达D 点，求粒子初速度的大小v 0； （2）若粒子在第二次经过x 轴时到达D 点，求粒子初速度的大小v 0； （3）若粒子在从电场进入磁场时到达D 点，求粒子初速度的大小v 0； 解（1）粒子只在电场作用下直接到达D 点设粒子在电场中运动的时间为t ，粒子沿x 方向做匀速直线运动，则 x=v 0 t ① （1分） 沿y 方向做初速度为0的匀加速直线运动，则 h=221at ② （1分） 加速度 mqEa =③ （1分） 粒子只在电场作用下直接到达D 点的条件为 x=d ④ （1分） 解①②③④得 mhqEdv 20= （2分）（2）粒子在第二次经过x 轴时到达D 点，其轨迹如图3所示。

设粒子进入磁场的速度大小为v ，v 与x 轴的夹角为θ，轨迹半径为R ，则v sin θ = a t ⑤ （1分）Rv m qvB 2= ⑥ （2分）粒子第二次经过x 轴时到达D 点的条件为x －2R sin θ = d ⑦ （2分）解①②③⑤⑥⑦得mh qE dv 20=+BE2 （2分）（3）粒子在从电场进入磁场时到达D 点，其轨迹如图4所示。

根据运动对称性可知QN=2OM=2 x （2分） 粒子在从电场进入磁场时到达D 点的条件为x +n (2x －2R sin θ) = d ⑧ （3分）其中n 为非负整数。

解①②③⑤⑥⑧得mhqEn d v 2120+=+B E n n ⋅+122 （2分） ‘12024．（20分）如图所示，有 n （n >10）个相同的小物块（可视为质点）静止在倾角图3图4为 θ 的倾斜轨道上，物块与轨道间的动摩擦因数均为 μ。

每个物块的质量均为 m ，相邻物块间的距离均为 l ，最下端的物块到轨道底端的距离也为 l 。

使第1个物块以某一初速度 v 0沿轨道开始下滑，在每次发生碰撞时物块都立即粘合在一起运动，最后n 个物块粘在一起后恰好停在轨道的底端。

已知空气阻力可忽略不计，重力加速度为g 。

（1）求第一次碰撞前瞬间小物块1的速度v 1的大小； （2）设第5次碰撞前的瞬间运动物块的动能为E k5，第5次碰撞过程中系统损失的机械能为E 损5，求E 损5和E k5的比值；（3）求下滑的整个过程中由于相互碰撞而损失的机械能。

24．解：（1）物块1，由动能定理得 20212121cos sin mv mv mgl mgl -=-θμθ得 )c o s (s i n 2201θμθ-+=gl v v （2）设第5次碰撞前，5个物块一起运动的速度大小为v 5，对第5次碰撞，由动量守恒定律有 55)5(5v m m mv '+=碰撞前运动物块的动能为E k5 =25521mv ⨯ 碰撞过程中系统损失的机械能为E 损5=2525621521v m mv '⨯-⨯ 解得E 损5/E k5=1/6（3）对n 个木块运动和碰撞的全过程重力做的总功(1)sin (123)sin 2G n n W mgl n mgl θθ+=++++=克服摩擦做的总功(1)cos (123)cos 2f n n W mg l n mgl μθμθ+=⋅++++=设整个过程中由于相互碰撞而损失的机械能为E 损总，则根据做功与能量变化的关系有损总E W mv W f G +=+2021由以上各式求出 )c o s (s i n 2)1(2120θμθ-++=m g l n n mv E 损总 ‘‘0924．（20分）（1）如图1所示，ABC 为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC 段水平，AB 段与BC 段平滑连接。

质量为m 1的小球从高为h 处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC 段上质量为m 2的小球发生碰撞，碰撞前后两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。

求碰撞后小球m 2的速度大小v 2；解：（1）m 1下降h ：m 1gh =21m 1v 210 ∴ v 10=gh 2图1图m 1与m 2弹碰：m 1v 10=m 1v 1+m 2v 2 21m 1v 210=21m 1v 21+21m 2v 22 ∴ v 2=211012m m v m +=21122m m gh m +（2）碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。

为了探究这一规律，我们采用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的简化力学模型。

如图2所示，在固定光滑水平直轨道上，质量分别为m 1、m 2、m 3…m n -1、m n …的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能E k 1，从而引起各球的依次碰撞。

定义其中第n 个球经过一次碰撞后获得的动能E kn 与E k 1之比为第1个球对第n 个球的动能传递系数k 1n a 、求k 1nb 、若m 1=4m 0，m 3=m 0，m 0为确定的已知量。

求m 2为何值时，k 13最大 解：（2）a 、E k 1=21m 1v 210；E k 2=21m 2v 22 ∴ E k 2=22121)(4m m m m +E k 1 ∴ k 12=22121)(4m m m m +同理：k 13=22121)(4m m m m +23232)(4m m m m +⋅…∴ k 1n =2121)(4m m m m +23232)(4m m m m +⋅…11)(4n n n n m m m m +⋅-- =212322212123221)()()(41n n nn m m m m m m m m m m m n +++--- b 、将m 1=4m 0，m 3=m 0代入“k 13”式：k 13=2202202220)()4(64m m m m m m ++=64m 20220202⎥⎦⎤⎢⎣⎡m 欲k 13最大，只需))(4(20202m m m m m ++最大∵))(4(20202m m m m m ++=02220541m m m m ++ 只需22204m m m +=0222042m m m m +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-最小 令：2202m m m -=0图2 m 1 m 2 m 3 m n -1 m n∴ m 2=2m 0时，k 13=k 13max =64 “10 24.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。

现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。

已知雨滴的初始质量为m 0，初速度为v 0，下降距离l 后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m 1。

此后每经过同样的距离l 后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m 2、m 3……m n ……（设各质量为已知量）。