2015年上海高考数学(文科)试题解析版一、填空题(本大题共14小题,每题4分,满分56分) 1、函数()x x f 2sin 31-=的最小正周期为 _________.分析:本题是基础题目,主要考查余弦的二倍角公式,属于常考题目。
答案:π2、设全集U R =,若集合{}4,3,2,1=A ,{}32|≤≤=x x B ,则=B C A U _________. 分析:本题考查了学生的集合运算,属于基础题目和常考题目 。
答案:{1,4}3、若复数z 满足i z z +=+13_,其中i 为虚数单位,则z =___________. 分析:考查复数基本形式及共轭复数的概念,属于基础题目和常规题目。
答案:1142i + 4、设()x f 1-为()12+=x xx f 的反函数,则()=-21f ___________.分析:考查了反函数的知识点,较为基础。
答案:23-5、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211302c c ,解为⎩⎨⎧==53yx ,则=-21c c ___________.分析:考查了二元一次方程组增广矩阵的概念,属于基础知识,但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。
答案:166、若正三棱柱的所有棱长均为a ,且其体积为316,则=a ___________.分析:首先考查了学生对于正三棱柱的认识,其次考查了棱柱的体积公式,题型和知识点较为常规。
答案:47、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1,则=p ___________. 分析:考查了抛物线上的点到焦点的距离问题,可以通过第一定义,将到焦点的距离转化成到准线的距离,这样题目就非常容易解决掉。
答案:28、方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为___________.分析:考查了对数方程的知识点,通过对数运算,去掉对数符号,解出方程的根,易错点为根的验证。
答案:29、若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ,则目标函数()y x x f 2+=的最大值为___________.分析:本题是线性规划的知识点,属于文科拓展的内容,问题比较直接,并没有拐弯难为学生。
答案:310、在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示)分析:排列组合知识点出现在第十题这个位置,相比较模拟卷和往年高考卷,难度不算大,可以用容易来形容。
答案:12011、在6212⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式中,常数项等于 (结果用数值表示).分析:考察了二项式定理的通项公式,知识点比较简单,本题的指数不算大,很多同学可以把二项式展开做;数理统计的内容在考卷中连续出现两题,而且较为简单,往年高考中很少见到。
答案:24012、已知双曲线1C 、2C 的顶点重合,1C 的方程为1422=-y x ,若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍,则2C 的方程为___________.分析:考察了共渐近线的双曲线方程求法,根据顶点相同,可进一步确定双曲线方程;如果本题“斜率的2倍”改成“倾斜角的2倍”,所考查的知识点就多一些,本题相对简单,尤其是出现在12题的位置。
答案:224x y -=13、已知平面向量c b a ,,满足b a ⊥,且{}{}3,2,1,,=cb a ,则c b a ++的最大值为___________.分析:首先考查了集合元素的互异性,可能很多同学会填9;解决本题的最好方法就是数形结合,因为已知a 和b 之间的关系,在通过向量平行且同向时相加模最大,就能够很容易解决本题目。
答案:35+14、已知函数()x x f sin =,存在m x x x ,,21,满足π6021≤<<<≤m x x x ,且()()()()()()()*-∈≥=-++-+-N m m x f x f x f x f x f x f m m ,2,1213221 ,则m 的最小值为____. 分析:本题属于压轴的填空题,难度比前面的十三道题都提升了很大一个档次,首先考查了正弦函数的知识点,其次是要理解绝对值的含义,因为要求m 得最小值,所以要尽可能的使得每个绝对值的值尽可能的大,所以会利用正弦函数的最大值和最小值。
答案:8二、选择题(本大题共4小题,每题5分,满分20分)15、设C z z ∈21,,则“21z 、z 均为实数”是“21z z -为实数”的( ) A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件下 D 、既不充分也不必要条件 分析:基础题目,考查了条件与命题和复数的定义。
答案:A16、下列不等式中,与不等式23282<+++x x x 解集相同的是( )A 、()()23282<+++x x x B 、 ()()32282++<+x x xC 、823212+<++x x x D 、218322>+++x x x 分析:考查了学生对于分式不等式解法的步骤或者等价性,属于基础题目。
答案:B17、已知点A 的坐标为()1,34,将OA 坐标原点O 逆时针方向旋转3π至OB ,则B 点的纵坐标为( )A 、233 B 、235 C 、211 D 、213分析:考查了任意角的三角比的概念及正弦的两角和公式,属于中等题目,但与往年的模拟考中的一道题只是换了一下数据。
答案:D18、设()n n n y x P ,是直线()*∈+=-N n n ny x 12与圆222=+y x 在第一象限的交点,则极限=--∞→11limn n n x y ( ) A 、1- B 、21-C 、1D 、2分析:本题的知识点属于极限的求法,但实际上在解题时会先取极限再求值;因为()n n n y x P ,的极限位置为(1,1)点,而题目中所要求的是()n n n y x P ,与(1,1)构成的斜率的极限,由于两点都在圆上,而且无线逼近,可以得到斜率的极限为过(1,1)与圆相切时的斜率。
答案:A三、解答题(本题共5大题,满分74分)19、(本题满分12分)如图,圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,底面的一条直径为AB ,C 为半圆弧AB 的中点,E 为劣弧BC 的中点,已知2PO =,1OA =,求三棱锥P AOC -的体积,并求异面直线PA 与OE 所成角。
分析:本题考查了圆锥的体积公式和异面直线夹角的求法,属于比较基础的题目,几何法主要通过中位线,把已知直线平移到同一个平面内即可,因为垂直关系比较容易找到,从而线段的长度也就容易计算了。
答案:13,10arccos1020、(本题满分14分)已知函数()xax x f 12+=,其中a 为常数,(1)根据a 的不同取值,判断()x f 的奇偶性,并说明理由; (2)若()3,1∈a ,判断()x f 在[1,2]上的单调性,并说明理由。
分析:比较简单的一类奇偶性的判断和证明,首先要注意本题要求先判断,所以解题时要把结论写在前面,然后再去证明;第二问考查了函数单调性的一般步骤,及时含有参数,也比较容易能够判别符号。
总体来说本题考查的知识点偏基础。
答案:(1)0a =时,()f x 为奇函数;0a ≠时,()f x 非奇非偶。
(2)单调递增。
21、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 如图,A ,B ,C 三地有直道相通,5AB =千米,3AC =千米,4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地,经过t 小时,他们之间的距离为()f t (单位:千米).甲的路线是AB ,速度为5千米/小时,乙的路线是ACB ,速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1t t =时,乙到达C 地.(1)求1t 与1()f t 的值;(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时,求()f t 的表达式,并判断()f t 在1[,1]t 上的最大值是否超过3? 说明理由.分析:本题是解三角形与函数最值综合的一道应用题,虽然牵扯到分段函数,但并不是很难,主要考察学生的基础知识——余弦定理的应用及二次函数求最值求法. 答案:(1)13=8AC t h v =乙,设此时甲运动到P 点,则115=8AP v t km =甲,在APC V 中,()1f t PC ==223412cos 8AC AP AC AP A +-⋅=(2)当178t t ≤≤时,乙在CB 上,设为Q 点,设此时甲在P 点,则:878QB AC CB t t =+-=-,55PB AB AP t =-=-∴222()2cos 254218f t PQ QB PB QB PB B t t ==+-⋅=-+,当718t <≤时,乙在B 点不动,设此时甲在P 点,则:()55f t PB AB AP t ==-=-, ∴237254218,88()755,18t t t f t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩∴当318t ≤≤时,341()[0,]8f t ∈,且34138>∴()f t 的最大值超过了3km . 22、(本题满分16分)本题共有2个小题.第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=,过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ,记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .(1)设11(,)A x y ,22(,)C x y ,用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离,并证明12212S x y x y =-;(2)设1l :kx y =,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,33C ,31=S ,求k 的值; (3)设直线1l 和2l 的斜率之积为m ,求m 的值,使得无论1l 和2l 如何变动,面积S 保持不变。
分析:本题属于中等偏易的题目.考察了学生直线方程求法和点到直线的距离公式,题目中语言的叙述和问题的提出具有引导作用,很有层次感,只是在整个运算过程中多为字母运算,提升了运算的难度,侧面也反应出计算能力的提升为考试的主要趋势。
第一问面积的求法,在2013年闸北二模卷中出现过类似的题目,当时是文科填空第二题,主要是考察利用矩阵求三角形面积;第二问只需联立直线与椭圆的方程,解出11(,)A x y 然后再带入第一问的公式即可求出k ;第三问考查了一个恒成立问题,直线1l 和2l 的斜率无论怎么变化S 始终不变,所以只需得出的等式中,将斜率作为未知量,其余作为已知量,然后未知量的系数为0即可。
解:(1)直线1l 的方程为:11y y x x =, 则点C 到直线1l 的距离为:1221212112221111(,)1y x y y x x y x d C l x yy x --==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,(方法1)又221122AB AO x y ==+,∴1(,)S AB d C l =⋅12212x y x y =-. (方法2)11111121122112111221221121221x y S x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y =⋅--=-+-+-+=-(2)15-或1-(3)12m =-23、(本题满分16分)本题共3小题.第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-,n N *∈.(1)若35n b n =+,且11a =,求数列{}n a 的通项公式;(2)设{}n a 的第0n 项是最大项,即0n n a a ≥()n N *∈,求证:数列{}n b 的第0n 项是最大项;(3)设130a λ=<,()n n b λn N *=∈,求λ的取值范围,使得对任意的m 、n ,0na ≠,且1(,6)6m n a a ∈。