5e t / 2 - 4e 2t 3e 3t / 2
3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有
约旦规范形法(7/8)—例3-6
例3-6 试求如下系统矩 2 3 0
解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 1=2 2=3=-1 2. 由于矩阵A为友矩阵,故将A变换成约旦矩阵的变换矩阵P和其 逆阵P-1分别为 1 1 0 1 2 1 1 P 2 1 1 P 1 8 2 1 9 4 1 2 6 3 1
~ At
~2 2 ~k k At ~ At e I At ... ... 2! k! 1 2 2 1 k k ( P AP ) t ( P AP ) t 1 I P APt ... ... 2! k! 2 2 k k A t A t 1 P I At 2! ... k! ... P P 1e At P
下面依次介绍: 凯莱-哈密顿定理
最小多项式
塞尔维斯特内插法 计算 矩阵指数函数
凯莱-哈密顿定理(1/4)
1. 凯莱-哈密顿定理
凯莱-哈密顿定理是矩阵方程分析和求解中非常重要的定理, 其表述和证明如下。 定理3-1(凯莱-哈密顿定理) 设nn矩阵A的特征多项式为
f()=|I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an 则矩阵A必使由上述特征多项式决定的矩阵多项式函数
e Pe P 1
At
~ At
e 2t (8 6t )e t 2e 2t (-2 3t )e t e 2t (-1 - 3t )e t 1 2t t 2t t 2t t 2e - (2 6t )e 4e (5 - 3t )e 2e (-2 3t )e 9 2t 4e (-4 6t )e t 8e 2t (-8 3t )e t 4e 2t (5 - 3t )e t
最小多项式(3/3)
证明 由假设知,矩阵adj(I-A)的最高公约式为d(),故 adj(I-A)=d()B(), 式中,B()的n2个元素(为的函数)的最高公约式为1。 由于 (I-A)adj(I-A)=|I-A|I
可得
d()(I-A)B()=|I-A|I 由上式可知,特征多项式|I-A|可被整除d()。
计算矩阵矩阵指数函数。
下面讨论之。
约旦规范形法(2/8)
下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质: 对矩阵A,经变换矩阵P作线性变换后,有
P 1 AP A
则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系
e Pe P
At
~ At
1
e P e P
1 At
~ At
约旦规范形法(3/8)
该结论可简单证明如下:
adj(I-A)=n-1I+n-2B2+…+Bn-1+Bn
其中矩阵B2,B3,…,Bn为nn维的常数矩阵。 因此由前面两式,有 (n+a1n-1+…+an-1+an)I=(n-1I+n-2B2+…+Bn-1+Bn)(I-A) 整理得 (n+a1n-1+…+an-1+an)I =nI+(B2-A)n-1+…+(Bn-Bn-1A)-BnA
凯莱-哈密顿定理(4/4)
上式中,令等号两边的同幂次项的系数相等,则有
a1I-B2+A=0 a2I-B3+AB2=0 … an-1I-Bn+ABn-1=0 anI+ABn=0
因此,将上述各等式从上至下依次右乘以An-1,…,A,I,然后 将各等式相加,即得 An+a1An-1+…+an-1A+anI=0 故矩阵A满足其本身的零化特征多项式。 •
然而特征多项式不一定是A的最小阶次的零化多项式。
将矩阵A满足的最小阶次的首一零化多项式称为最小多 项式,也就是说,定义n×n维矩阵A的最小多项式为满足
(A)=Am+1Am-1+…+m-1A+mI=0,
的阶次最低的首一多项式
m阶
mn
()=m+1m-1+…+m-1+m
最小多项式(2/3)
1 0 1 t2 1 0 0 t ... 0 1 2 3 2 3 2! 3 2 2 1 t ... t t ... 2 2t 3t 2 ... 1 3t ...
1 1 1 P 0 2 6 1 4 9
1 0 0 ~ 1 A P AP 0 2 0 0 0 3
3e t - 3e 2t e 3t ~ At A t 1 e Pe P - 6e 2t 6e 3t 3e t - 12e 2t 9e 3t
()=g()()+e()
其中g()和e()分别是多项式()除以()的商和余项,且 e()的阶次低于()。
最小多项式(5/3)
由于(A)=0和(A)=0,所以必然有e(A)=0。 考虑到()为矩阵A的最小多项式,所以不存在比() 阶次还低的A的零化多项式,故e()必为零,即有
级数求和法(2/3)
显然,用此方法计算eAt一般不能写成封闭的、简洁的解析形 式,只能得到数值计算的近似计算结果。
其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的 项数的多少。 如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是 非常麻烦的,一般只适用于计算机计算。 因此,该方法的缺点: 计算量大 精度低
2
约旦规范形法 (1/8)
3.2.2 约旦规范形法
上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形 式矩阵的矩阵指数函数。 由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦 矩阵,因此
可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线
矩阵或约旦矩阵,
再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速
塞尔维斯特内插法(1/1)
3.2.3 塞尔维斯特内插法
在讨论塞尔维斯特(Sylvester)内插法计算矩阵指数函数eAt时,需 要用到关于矩阵特征多项式的凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定 理以及最小多项式的概念。 因此,首先给出凯莱-哈密顿定理 及最小多项式的概念,
再讨论塞尔维斯特内插法。
最小多项式 (1/3)
2. 最小多项式
根据凯莱-哈密尔顿定理,任一n×n维矩阵A满足其自身的特 征方程,即特征多项式为A的一个零化多项式。 f(A)=An+a1An-1+…+an-1A+anI = 0 n阶 矩阵A的特征多项式为 f()=|I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an
非解析方法,难以得到计算结果的简洁的解析表达 式。
级数求和法(3/3)—例3-4
例3-4 用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数: 1 0 A 2 3
解 按矩阵指数函数的展开式计算如下: 2 2 k k A t A t At e I At ... ... 2! k!
3 5/ 2 2 P 1 3 4 3 1 3/ 2 1
e t 0 0 ~ At e 0 e 2t 0 3t 0 0 e
- 2e t 3e 2t - e 3t - 8e 2t 9e 3t 6e 2t - 6e 3t t 2t 3t 5e / 2 - 16e 27e / 2 - 2e t 12e 2t - 9e 3t
根据上述性质,对任何矩阵A, 可先(1)通过线性变换方法得到对角线矩阵或约旦矩阵, 然后(2)利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数,由矩阵指数函数 的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数。
约旦规范形法(4/8)—例3-5
例3-5 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数
1 1 0 A 6 11 6 6 11 5
解: 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 1=-1 2=-2 3=-3
2. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值 1,2和3所对应的特征向量分别为 p1=[1 0 1] p2=[1 2 4] p3=[1 6 9]
约旦规范形法—例3-5
故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1为
约旦规范形法(8/8)--例3-6
3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有
2 0 0 ~ 1 A P AP 0 1 1 0 0 1
e 2 t 0 0 ~ At t t e 0 e te 0 0 e t
f(A)=An+a1An-1+…+an-1A+anI = 0
上述特征多项式亦称为矩阵A的零化特征多项式。 □
证明 因为
故
凯莱-哈密顿定理(2/4)
I=(I-A)-1(I-A)=[adj(I-A)/|I-A|](I-A)
|I-A|I=adj(I-A)(I-A)
由伴随矩阵的定义可知,伴随矩阵adj(I-A)可表示为如下 多项式矩阵函数:
最小多项式在矩阵多项式的分析与计算中起着重要作用。 定理3-2给出了特征多项式与最小多项式的关系。 定理3-2 设首一多项式d()是I-A的伴随矩阵adj(I-A)的所有 元素的最高公约式,则最小多项式为
I A ( ) d ( )
()=m+1m-1+…+m-1+m
因此设d()整除|I-A|得到的因式记为(),故有 |I-A|=d()(),
最小多项式(4/3)