《二项式定理中的特殊项问题》导学案学习目标：1． 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式； 2． 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。

学习重点：二项式系数性质的应用； 学习难点：二项式系数性质的应用。

学习过程： 学习提纲：nn n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+-- ，是二项式展开式定理，主要研究了以下几个方面的问题：（1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。

1．求523)12()1(+-x x 的展开式中2x 项的系数。

变式1：9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。

2． 求二项式3521()x x -的展开式中的常数项。

3． 求11的展开式中的有理项。

4． 已知22)()nn N x ∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。

（1） 求展开式中各项系数的和； （2） 求展开式中含32x 的项；（3） 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。

5． 若8280128()x a a a x a x a x -=++++，且556a =，求0128a a a a ++++的值。

当堂检测：1．（2011 陕西高考）6(42)()xx x R --∈的展开式中的常数项是（ ）.20A - .15B - .15C .20D2．若423401234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为 。

3．若(0)x ∈+∞，，则15(12)x +的二项展开式中系数最大的项为 。

4．已知(1)nx -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)nx -的展开式中系数最小的项是 。

5．若1(3)nx x+的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。

作业：课本40P A 组1～9题；B 组1～5题附加题：若41()2n x x+展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项．补充作业：1．若0166777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求（1）1237a a a a ++++ ；（2）7531a +a +a +a ； （3）01237||||||||||a a a a a +++++2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ） A ．160B ．240C ．360D ．8003．已知2()nx x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中系数为实数且最大的项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第5项或第6项4．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x 一次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最小值并求这个最小值．5．若72701227(12)x a a x a x a x a x -=+++++则01237||||||||||a a a a a +++++=6．若n 为偶数，则1 + 3123133n nn n n n nC C C C C -+++++的值等于 7．若2006220060122006(12)x a a x a x a x -=++++（x ∈R ）， 则010203()()()a a a a a a ++++++…+02006()a a += ；2200553122006420)a +......+a +a +(a -)a +.....+a +a +a (= 。

8．若1002100012100(12)(1)(1)(2)x a a x a x a x +=+-+-++-，求13599a a a a ++++的值．9．求证：1-n nn 3n 2n 1n 2•n =nC +.....+C 3+C 2+C10．求证：1121C 3C 2C 1C 1210+-=++++++n n n n nn n n11．已知(a ＋b )n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于 ( )． A ．11 B ．10 C ．9 D ．812． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是 ( )． A ．第8项 B ．第9项 C ．第8项或第9项 D ．第11项或第12项13．设(3－x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若n ＝4，则a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)na n ＝ ( )．A ．256 B ．136 C ．120 D ．1614．在二项式(1－2x )6的展开式中，所有项的系数之和为________． 15．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．16．设(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，当a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝254时，求n 的值．17．若(x ＋3y )n 展开式的系数和等于(7a ＋b )10展开式中的二项式系数之和，则n 的值为 ( )．A ．5 B ．8 C ．10 D ．1518．(2012·济宁高二检测)如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x3的系数是 ( )． A ．7 B ．－7 C ．21 D ．－21 19．在(a －b )10的二项展开式中，系数最小项是________． 20．若(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012x2 012(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 012)＝________．(用数字作答)21．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14， 求(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.22．(创新拓展)对于二项式(1－x )10.(1)求展开式的中间项是第几项写出这一项； (2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和； (3)写出展开式中系数最大的项．23．（2013 全国新课标卷 9题）设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b 。

若137a b =，则m =（ ）.5A .6B .7C .8D24．（2013 全国新课标卷 5题）已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）.4A - .3B - .2C - .1D -25．（2013 全国大纲卷 7题）84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）.56A .84B .112C .168D26．（2013 四川卷 11题）二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是（用数字作答）27．（2013安徽卷 11题）若83()x x+的展开式中4x 的系数为7，则实数a = 28．（2013辽宁卷 7题）使(3)()n x n N x x+∈*的展开式中含有常数项的最小的n 为 29．（2013浙江卷 11题）设二项式53()x x-的展开式中常数项为A ，则A = 30．（2013江西卷 5题）2532()x x-展开式中的常数项为 31．（2013天津卷 10题）6()x x-的二项展开式中的常数项为07学案 参考答案1．解法一：在3)1(x -中2x 项的系数为3)1(C 223=-，常数项为1在52)12(+x 中2x 项的系数为102C 24=，常数项为1故在523)12()1(+-x x 的展开式中2x 项的系数为1311013=⨯+⨯。

解法二：523)12()1(+-x x个共522)12()12()1)(1)(1(++---=x x x x x由于积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的积，故展开式中2x 项的系数为1312C 11)(C 7156223=⋅⋅+⋅-变式1：解：992199()()k k k k k k k k T C x x a a C x ---+=-=-，令9233k k -=⇒=，3x ∴的系数为33984a C -=-，31,1a a ∴==2．解：15515(1)r r r r T C x -+=-，令15503r r -=⇒=，故展开式中的常数项为335(1)10C -=-3．解：因为二项展开式中共有12项，其通项公式3311113611111(3)(2)3(2)r rrrr rrk T C x x C x---+=-=-，01211r =⋅⋅⋅，，，，其中只有当3r =或9r =时，才是有理项。

4．解：（1）1；（2）展开式中含32x 的项为32216T x =-；（3）系数最大的项为1171792T x -=，二项式系数最大的项为651120T x -=5．82当堂检测：1．C 2．8 3．第11项 4．310x - 5．52113524327015T x T x T x -===，， 附加题：解．由已知条件得021211222nn nC C C +⋅=⋅，所以n = 8．记第k 项的系数为t k ，设第k 项系数最大，则有1k k t t +≥且1k k t t -≥所以11881122882222k k k k k k k k C C C C --+---+--+⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩， 所以8!8!2,(1)!(9)!!(8)!8!8!2,(1)!(9)!(2)!(10)!k k k k k k k k ⎧⋅≥⎪-⋅-⋅-⎪⎨⎪≥⋅⎪-⋅---⎩的所以29,102(1),k k k k ≥-⎧⎨-≥-⎩所以3≤k ≤4，所以系数最大的项分别为第3项和第4项，分别是5724447,7T x T x =⋅=⋅ 补充作业：2． B 3．C4．解．解:1111,m n C C m n +=+=所以2222222211111021199()1155()22224mnm n mn C C m m n n n n +--+=-+===-+=-+． 因为n ∈N*，所以n = 5或6，m = 6或5时，含x 2项的系数最小，最小值为25． 5．2187． 6．12n +．7．2006． 8．解：已知等式 令x = 2得100012100(14)a a a a +=++++，令x = 0得01231001a a a a a =-+-++，两式直减得1001399512()a a a -=+++．所以10011599522a a a a -++++=． 10．证明：左边)!(!!11C 11k n k n k k k n -⋅+=+)!()!1()!1(11k n k n n -++⋅+=11C 11+++=k n n ∴1C 3C 2C 1C 210+++++n n n nn n )C C (C 11112111++++++++=n n n n n =-+=+)12(111n n 右边故原式得证。