收益与风险 9.1 收益率• 收益 = 股利收入+资本利得(资本损失)，它是一个随机变量 • 收益率(%) r t+1 =期初价值期末价值－期初价值=t t t t t P P P P D -+=++11期初市场价值总收益= 股利收益率% + 资本利得收益率% 单期收益率：ttt t t P D P P r +-=-)(1单期收益：1-=t tt P P R 多期收益率：1)(-==-=----kt t k t t k t k t t t P PP P P P P k r多期收益：kt k t t t t t k t t t P PP P P P P P k R -------•==1211)(Λ ))1(1())1(1))(1(1()(11k t t t t r r r k r --+++=+Λ 多期收益是单期收益的乘积对数收益：),(ln ~1+∞-∞∈=-t tt P P r t t t t t r r P Pr ≈+==-)1ln(ln ~1多期对数收益：)1(~)1(~)1(~ln )(~1k t t t kt tt r r r P P k r ---++==Λ 长期收益一般研究对数收益，短期收益一般研究算术收益。

• 持有期收益率 = (1 + r 1)(1 + r 2) …(1+ r T ) -1它是在T 时期内的总收益率• 期望收益率=收益率的均值9.2 期望效用原理一 一般的效用函数二次效用函数 (3.6) 对数效用函数 (3.7) 幂函数 (3.8) 负指数函数 (3.9) 二 均值方差准则的效用函数基础 期望效用原理：收益率是r.v.（随机变量）采用量化指标，期望收益率，方差（标准差）——风险 假设：⑴不满足性：在两个收益率中选择期望收益较高的投资 ⑵风险厌恶：如果两个期望收益率相同，则选方差较小的投资。

定义：集合S 是N 种证券所组成的投资组合， 证券组合：(){}种证券上的投资比例是在i x x x x P i i N ,1,1∑==Λ ， 称S 为机会集合。

预算约束：NN Nx x Wy W y y y W ΛΛΛ+=++=++=∆1111 2W W U β-=WU ln =ββW U )sgn(=)exp(W U β--=给定S.设对S 中的任何两个证券X 和Y ，都可以进行比较，结果一定是运行三种结果之一： ⑴X 比Y 好，记为Y X φ. ⑵Y 比X 好，记为X Y φ. ⑶X 和Y 无差异，记为Y X ~.则这个比较结果给出了S 上的偏好关系。

假设偏好关系具有传递性，即Z X Z Y Y X φφφ⇒,,在给定的偏好关系下，所有与X 差异证券构成的集合称为证券X 的无差异集，当无差异集是一条曲线，称为无差异曲线。

定义两个财产博弈（Game ）：G(a,b ；p),即它是一个以概率p 获得财产a,以概率1－p 获得财产b ，则称F(G(a ，b ；p))＝pa ＋（1－p ）b 为G 的期望值，如果博弈G （a ，b ；p ）使得EG （a ，b ；p ）＝0，称这个博弈为统计上的公平博弈。

（参加公平博弈的就是风险不厌恶者）另外一个博弈G(a ，0；1)确定性博弈，则EG(a ，0；1)＝a设：投资者的效用函数为U （•），一个博弈的效用U(G(a ，b ；p))，因G 是随机的为了计算U(G)对U(G)作假设。

定义：对于如何两个博弈，);,(),;,(2211p b a G p b a G ，及给定的偏好关系。

如果效用函数U （G ）满足如下条件： ⑴)()(2121G U G U G G >⇒φ ⑵)()(~2121G U G U G G =⇒⑶)()()1()()(G EU b U p a pU G U =-+= 则称U （•）为代表此偏好关系的期望效用函数。

可以证明在一般条件下，代表偏好关系的期望效用函数是存在的。

双曲线决定风险厌恶效用函数，)0(,11)(>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=b b a U θθωθθω，b=1,a=2β,θ=2,代入后恰是二次效用函数。

9.3 风险及其度量严格个体的风险厌恶：个体不愿意接受任何统计意义上的公平博弈。

个体的风险厌恶：个体不愿意接受或至多无差异于任何统计意义上的公平博弈。

设U （•）是投资者效用函数：ω——是未来财富 r.v. 定义： 一般风险测度 一般风险测度（GRM ）(3.12)• 定理3.1.)(,0)(0)(,0是严格向下凸的如果是线性的；，如果是严格向下凹的；如果W U W U W U <=>ϕϕϕ二 确定性等价和风险补偿对于风险 ，它的风险补偿 为（3.13） 定义：G(a ，b ；p)是一个博弈，U （•）是一个投资者的效用函数。

⑴ϕ>0，投资者是风险厌恶的； ⑵ϕ＝0，投资者是风险中立的； ⑶ϕ<0，投资者是风险偏好的。

)(()(W U E W U -=ϕ∑∞=-+-'+=1)())(())(()()(k k k kW W W U W W W U W U W U∑∞=+=1!)()()(k kk k M W U W U W EU))(()(W U E W U -=ϕ),(P W πCEW -=π注意:)()(πϕ--=W U W Uππ)()()(W U W U W U '-=-在均值点展开,)(2)())(2)()(()())((22W U W U W W U W U E W EU W U E ''+=''+'+=+=σοεεε由于)()(21))(()(W U W U W U E W U '''=⇒=-ππ),())((2σW g W U E =,马可维兹实际上是关于均值和方差的函数.定理3.2 如果是严格单调递增，且函数形式确定，则 且 和 是一对一的变换。

（2）作为对风险厌恶的测度， 与 是等同的。

定理3.3 如果效用函数是线性函数，则GRM 将 变成 而 是不变的。

三 一般风险测度的级数展开定理3.4 如果效用函数 在附近能做 展开，概率分布的 K 阶中心矩存在，则四 局部风险厌恶局部风险厌恶的Pratt 测度 为，0)1(>Wd d πϕϕπϕπϕϕa πWTaylor k M∑∞=-=2)(!)(k kk k M W U ϕ)(W r )()(2122是方差σσπW r =（3.16）（3.17）五 一般风险测度 的一些例子 效用函数(1)(2)(3)(4)(5)(6)六 两参数的效用函数两参数函数（TPFR ）是指期望效用的如下表示：))(()(风险补偿边际效用==πϕdWW dU ϕ)(πϕ0==+πϕbW a 22)2(ππϕb W b a bW aW +-=+)]([πϕ----=---W e e e W W )1log(ln WW πϕ--=)(1ππϕ-=-W W W)1(WW W πϕ-=),())((ψW f W U E =（3.18）其中 是某个函数， 是分布的均值， 是某风险的测度。

广义马柯维兹准则 是期望效用表达式（3.19）9.4 收益与风险的统计分析• 预期收益 设收益 是随机变量,它的取值为 ，相应的概率分布为 ,即 则预期收益(3.20)• 收益的均方差或标准差(3.22)•设 ， 分别为两种证券A,B 的收益率，则称（3.23）为 与 的协方差。

•相关系数（3.24）•当 时，称为 与 完全正相关fWψ)(GMC ϕ-=)())((W U W U E r Nr r r ,,,21ΛN p p p ,,,21Λ,,,1),(N i r r P p i i Λ===∑==Ni ii p r r E 1)(∑=-=Ni ii p r E r r 12))(()(σA r B r ()())()(),cov(,B B A A B A r rr E r r E r E r r BA --==σArBr )()(),cov(,B A B A r rr r r r BA σσρ=1,=B A r r ρA r B r• 当 时，称为 与 完全负相关 •当 时，称为 与 完全无关或零相关9.5 市场投资组合、特征线市场投资组合是指包含了经济体系中的每一个单个风险资产，以及他们的投资所占的份额等于这种资产市场价值对所有风险资产总市场价值的比例。

证券的特征线和贝塔系数（β）确定证券的期望收益率与市场组合期望收益率的关系， 建立模型：r i =α+βr M +ε参数估计◆ β的估计：取历史数据(R M t , R i t ),t=1,2,……,T其中 ， 分别是r i ,r m 的样本均值。

由此得到证券 i 的特征线方程A r A rB r B r 1,-=B A r r ρ0,=BA r r ρ()()()∑∑==---=Tt MMt Tt MMt J itr rr r r r121ˆβi r M rˆˆi M r r αβ=-ˆˆi M r r αβ=+• 证券组合P=(X 1, X 2,……, X N )T 的β系数为：市场投资组合M 的β系数βM =1证券特征线3.6 β因子◆ 证券J 关于市场投资组合的β因子iNi i P X ββ∑==1)(),cov(2M M J J r r r σβ=β的估计：9.7风险厌恶投资者的投资行为研究假设投资者具有严格的递增效用函数，市场有N 种可供选择的风险资产和一种无风险资产，市场无摩擦。

j r ~－风险资产收益率，f r －无风险资产收益率，0w －投资的财富j a －在j 风险资产上的投资量，j=1,…,N 。

∑=-Nj j a w 10—无风险资产上的投资量。

期末投资者的总财富为：)~()1()~1()1)((~10110f j Nj j f j N j j fN j j r r a r w r a r a w w -++=+++-=∑∑∑=== 在0>'U 时，投资者面临的问题即：{}{}))~()1((max )~(max 1011f j Nj j f a a r r a r w EU w EU Ni i N i i -++=∑=== ()()()∑∑==---=Tt MMtTt MMt J itr rr r r r121ˆβ必要条件：0))~)(~((=-'f j r r wU E ，j=1,…,N 。

投资公理1 ：不满足性。

即如果市场允许卖空，在公理下，多比少好，投资者存在最优策略，则1)0~(0<>-<f j r r p 。

命题：假设市场可以卖空，在公理下，风险厌恶投资者买入风险资产⇔至少存在一种风险资产收益率的均值大于无风险资产的收益率。