比较系数可得：
a121
a
2 21
1
(3) X2项的系数是1，t2项的 系数是负1 ，xt交叉项的
a11a12 a21a22 0
(4)
系数是0
a122
a
2 22
1
(5)
§3 洛仑兹坐标变换
由（3）、（5）式可得
a11
1
a
2 21
a22 1 a122
带入（4）可得 a12 a 21
在Σ系，观察Σ’系的原点o’，以速度V运动。 即 x = vt 代入（1）式可得，0 = a11vt+a12ct。 即 a12/a11= -v/c
y y' z z'
t (t ' x ')
c
§3 洛仑兹坐标变换
注意沿正向以速度V运动，两系原点重合时两系 时钟均指零
空间、时间的测量结果相互影响，相互制约
--- 相对论时空观
光速是各种物体运动的一个极限速度。
§3 洛仑兹坐标变换
P2
(
(x2、y2、z2、t2 ) x, 2、y , 2、z , 2、t , 2
§3 洛仑兹坐标变换
例一、在Σ系中，有一事件为△ｘ＝３×１０８ｍ， △ｔ＝0.５s。在Σ，系中△ｔ’＝０，求：△ｘ， 解:
t
'
[t-
v c2
x]
Q t ' 0 v 0.5c
x ' [x vt]= 2 3 [3108m 0.5c 0.5s]
3
2 3 3 3108m= 3 3108m
34
2
§3 洛仑兹坐标变换
在系 x=3108m, t 0.5t
在'系
x'=
3 2
3
108
m,
t' 0
在惯性系Σ中为异地异时事件，在惯性系Σ‘中的同时 异地事件。
§3 洛仑兹坐标变换
例二：证明为了保证因果律不变，物体运动的速度不 会大于光速。
所谓因果律不变，就是当 当 t2 t1 0 亦有 t2 t1 0
t2
t1
[t2
t1
c
x2
x1 ]
t2 t1
v c2
x2
x1
பைடு நூலகம்
c2 v x2 x1 t2 t1
c2 v u
)
P1
(
(x1、y1、z1、t1)
x,1、y,1、z,1、t
, 1
)
§3 洛仑兹坐标变换
x
' 2
x1'
[( x 2
x1)
v(t 2
t1)]
y2' y1' y2 y1 z2' z1' z2 z1
t
' 2
t1'
[(t2
t1
)
c
(x 2
x1)]
x, x y, y z, z t, t
可得
a11 a22
1
1
v2 c2
v
a12 a21
c
1
v2 c2
§3 洛仑兹坐标变换
洛仑兹坐标变换
x ' x vt
1
v2 c2
y' y z' z
t'
t
v c2
x
1
v2 c2
v
c
1
1
v2 c2
逆变换
x ' (x vt)
y' y z' z
t ' (t x)
c
x (x' vt')
(x, t) P (x '，t ')
y y' z z'
1.空间变换应是线性的，四个系数应为常数。
2.考虑到x轴与x’轴，t与t’的正方向相同，11＞0,a22＞ 0.
§3 洛仑兹坐标变换
代入时空间隔可得： (a11x a12ct)2 +y2 +z2 (a 21x a 22ct)2 x2 +y2 +z2 c2t2
uy ,u'y ,uz ,u'z 以此类推
§3 洛仑兹坐标变换
速
ux
ux 1
v
uxv c2
度 叠 加 公
uy
uy
1 v2 / c2
1
uxv c2
式
uz
uz
1 v2 / c2
1
uxv c2
ux
ux 1
v
uxv c2
uy
uy
1 v2 / c2
1
uxv c2
uz
uz
1 v2 / c2
1
uxv c2
垂直于运动方向的速度也发生了变化。
a44tt
式中a14的量纲不统一
1 0 0 v
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
§3 洛仑兹坐标变换
一、由光速不变原理导出洛伦兹变换
事件P在Σ系和Σ’系分别被描述成 (x和, t) (x '，t ')
变换关系是为
x ' a11x a12ct (1) ct' a21x a22ct (2)
§3 洛仑兹坐标变换
1.洛伦兹基于收缩理论导出（用于解释 迈克尔逊实验） 2.爱因斯坦基于光速不变原理导出
§3 洛仑兹坐标变换
回忆伽利略变换写成
x,
a11
x
a 12
y
a13 z
a14t
y,
a21 y
a 22
y
a23 z
a24t
z,
a31 y
a 32
y
a33 z
a34t
t,
a41 y
a 42
y
a43 z
x2
x1
[(x
' 2
x1' )
v(t
' 2
t1' )]
t2
t1
[(t
' 2
t1' )
c
(x
' 2
x1' )]
§3 洛仑兹坐标变换
二、相对论速度叠加公式 由洛仑兹坐变换可得：
dx ' (dx vdt)
dy' dy dz' dz
dt ' (dt dx)
c
定义：u x
dx dt
dx' u'x dt'