∆x′ =
∆x −u∆t 1−u2 / c2
=
100 − 0.8×3×108 ×10 1− 0.82
= −4.0×109 m
因此， 因此， S' 系中测得选手跑过的路程为
| ∆x′ |= 4.0×109 m
(2) S' 系中选手从起点到终点的时间间隔为 ∆t'
u 0.8×100 ∆t − 2 ∆x 10 − c 3×108 =16.7 s ∆t′ = = 2 2 1−u / c 1− 0.82
14.4 洛伦兹变换
一、洛伦兹变换
在两参考系中的时间间隔、 在两参考系中的时间间隔、空间间隔的变换关系 时间间隔 洛仑兹速度变换
二、由洛仑兹变换看相对论时空观
• 同时性的相对性 • 时间延迟 • 长度收缩
一、洛伦兹变换 y'
u S' 时刻， 在t = t′＝0 时刻， S , S′ 原点重合 O' z' 线 性 变 换 关 系 x' z
∆t' = 0,
∆x' ≠ 0
同时异地事件 不是同时事件
∆t' + u∆x' c2≠ 0 ∆t = 1− β2
原时 ∆t' = τ0 ≠ 0
S′
∆x' = 0,
∆t =
同地异时事件
S
∆t' + u∆x' c2 1− β
2
∴ τ = ∆t =
τ0 1− β2
∴ τ 0 <τ 原时最短
(3) 长度收缩 a b u
∆t =10 s
∆x =100 m
l0 = 100 m
∆t' ∆x' l
(1) l0为原长 ， l 为运动长度，由长度收缩公式有 为运动长度，
l = l0 1− u2 / c2 =100× 1− 0.82 = 60 m
系中事件 事件1 事件2 的空间间隔∆ 在 S´系中事件 和事件 的空间间隔∆x'
∴a2 = a1 u
y' u 在t = t ′ ＝0 时 S' 刻， S , S′ 原点 重合 O' z' 线 性 变 换 关 系 z
y S
(x,y,z ,t) ( x', y', z', t' ) P
x' O
x
y' = y
S系
x2 + y2 + z2 = ct
z' = z
t' = b x + b2 t 1
dx' v'x = dt'
整理得
v −u ′= x vx u 1− 2 vx c
注意
v y 1− β2 v′ = y u 1− 2 vx c
vz 1− β2 v′ = z u 1− 2 vx c
v' y ≠ vy
v'z ≠ vz
的速度相向而行。 例 飞船 A , B 相对于地面分别以 0.6 c 和 0.8 c 的速度相向而行。 的速度。 求 飞船 A 上测得飞船 B 的速度。 u = - 0.6 c A B v = 0.8 c 向右为正 S
S’ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解 地面为 S 系，飞船 A 为 S′ 系 。 S′ 系(飞船 A )测得飞船 B 的速度为 飞船 测得飞船
v' =
v −u 0.8c + 0.6c = = 0.94c 2 2 1−vu/c 1+ 0.8×0.6c / c
二、洛仑兹变换与狭义相对论时空观
(1) 同时性的相对性
S′
S
(2) 时间延迟
x2 + y2 + z2 − c2t 2 = 0
S'系 系
x' = a1 (x − ut)
x' 2 + y' 2 + z' 2 − c2t' 2 = 0
∴ x2 − c2t 2 = x' 2 − c2t' 2
2 x2 − c2t 2 = a1 (x −ut)2 − c2 (b1x + b2t)2
的都成立， 等式对于任意 x、 t 的都成立，两边对应项相等 1 2 2 2 a1 =b2 = a1 − c b1 =1 1− β 2 2 a1 u − c2b1b2 = 0 u b1 = − 2 2 2 2 2 a1 u − c b2 = −c c2 1− β 2
(x1 (x2
, t1 )
, t2 )
(x'1 (x'2
, t'1 )
, t'2 )
∆x = x2 − x1
∆t = t2 −t1
∆x' = x'2 − x'1
∆t' = t'2 −t'1
∆x' =
∆x − u∆t
2
1− β u ∆t − 2 ∆x c ∆t' = 1− β2
伽利略变换
∆t' = ∆t
甲 乙
北京站
x x1 < x2
上海站
事件1 事件 ( x1 ， t1 ) 解 • 地面系 • 飞船系
事件2 事件 ( x2 ， t2 )
∆x = x2 − x1 =1000 km ∆t = t2 − t1 =1.0×10−3 s u 两独立事 ∆t − 2 ∆x c 件的时序 ∆t' = = −1.25×10−3 s 时序颠倒 1−u2 /c2
y S ut O x ( x', y', z', t' ) 事件 (x,y,z ,t)
y' = y z' = z
其中，a1 a2 b1 b2 待定系数 其中， 原点O 原点 ′ ： S’ 系中 x′ =0 ；S 系中 x = ut
t' = b x + b2 t 1
x' = a1x + a2t
0 = a1 ut + a2t
关于时序的讨论
∆ t′ 与 ∆ x 是否同号
?
∆ t′ 与∆ x同号 ，时序不变 同号 v
S
• 同地发生的两事件的时序不能颠倒
∆x = 0
∆t' =
∆t 1− β
2
• 因果事件时序不能颠倒
x2 − x1 子弹平均速度 v = t2 − t1
（x1 , t1）
x （x2 , t2）
u ∆x u ∆t ⋅ (1− 2 ) ∆t ⋅ (1− 2 v) c c ∆t = ∆t' = 1− β 2 1− β 2
S
事件1 事件 事件2 事件 空间间隔 时间间隔
S′
(x1 (x2
, t1 )
, t2 )
(x'1 (x'2
, t'1 )
, t'2 )
∆x = x2 − x1
∆t = t2 −t1
∆x' = x'2 − x'1
∆t' = t'2 −t'1
∆x' = x'2 −x'1 =
x2 − x2 x1 2 ut1 (x2− ut1) − u(t−− t1) ∆x − u∆t − = 2 2 2 1− β 1− β1− β 1− β2
u << c
x' = x − ut
t' = t
绝对时空观是低速情况下，相对论时空观的近似。 绝对时空观是低速情况下，相对论时空观的近似。 (2) 光速是各种物体运动的一个极限速度
u >c
1−u2 / c2 ⇒ 虚数
任何物体的运动都不会超过光速
(3) 两事件在 、S’系中的时间间隔、空间间隔的变换关系 两事件在S、 系中的时间间隔、 系中的时间间隔
∆x' = ∆x − u∆t 1− β2
1− β2
。 例 一短跑选手在地面上以 10 s 的时间跑完 100 m。一飞船沿同 飞行。 一方向以速率 u = 0.8 c飞行。 飞船参考系上的观测者测得百米跑道的长度 长度和选手跑过 求 (1) 飞船参考系上的观测者测得百米跑道的长度和选手跑过 路程； 飞船参考系上测得选手的平均速度 的路程；(2) 飞船参考系上测得选手的平均速度 。 选手起跑为事件“ ，到终点为事件“ ， 解 选手起跑为事件“1”，到终点为事件“2”，依题意有 地面S 地面 系 两事件时间间隔 两事件时间间隔 两事件空间间隔 两事件空间间隔 跑道 长度 飞船S'系 飞船 系
还与∆ 洛伦兹变换 ∆ t′还与∆ x 有关 还与 反映了空间、时间并非相互独立。 反映了空间、时间并非相互独立。
， 例 北京上海相距 1000 km，北京站的甲车先于上海站的乙车 1.0×10 −3 s 发车。现有一艘飞船沿从北京到上海的方向从 发车。 × 高空掠过， 高空掠过，速率恒为 u = 0.6 c 。 飞船系中测得两车发车的时间间隔，哪一列先开? 求 飞船系中测得两车发车的时间间隔，哪一列先开 u = 0.6 c
x' =
x − ut
2
1− β y' = y
x=
x'+ut'
逆 变 换
1− β2 y = y'
t'+ux' c2 1− β2
z' = z
t' = t − ux c 1− β
2 2
z = z'
t=
讨论 (1) 当u << c 洛伦兹变换简化为伽利略变换式
x − ut x' = 2 2 1− u /c t − ux c2 t' = 1− (u / c)2