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专题06 一元二次方程及其应用(解析版)

专题06 一元二次方程及其应用命题点1配方法1. 一元二次方程x 2-6x -5=0配方后可变形为( )A . (x -3)2=14B . (x -3)2=4C . (x +3)2=14D . (x +3)2=4【答案】A【解析】x 2-6x -5=0,x 2-6x =5,x 2-6x +9=5+9,(x -3)2=14,故选A. 命题点2跟与系数之间的关系2.方程x 2+x -12=0的两个根为( )A .x 1=-2,x 2=6B .x 1=-6,x 2=2C .x 1=-3,x 2=4D .x 1=-4,x 2=3【答案】D【解析】∵x 2+x -12=0,∴(x +4)(x -3)=0,解得x 1=-4,x 2=3. 命题点3根的个数3. 下列方程中,没有..实数根的是( ) A .2x +3=0 B .x 2-1=0 C .2x +1=1 D .x 2+x +1=0 【答案】D 【解析】选项逐项分析正误A由2x +3=0,得2x =-3,解得x =-324. 关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根,则k的值为( )A. k=-4B. k=4C. k≥-4D. k≥4【答案】B【解析】因为方程有两个相等的实数根,所以b2-4ac=42-4k=0,解得k=4.5. 若关于x的方程x2-2x+c=0有一根为-1,则方程的另一根为( )A. -1B. -3C. 1D. 3【答案】D【解析】设方程的另一个根为x2,则根据根与系数关系有-1+x2=2,解得x2=3.6. 一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1,x2,则下列结论正确的是( )A. x1=-1,x2=2B. x1=1,x2=-2C. x1+x2=3D. x1x2=2【答案】C【解析】根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=3,x1x2=-2,排除A、B、D 选项,故选C.命题点4一元二次方程应用7.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,抽样调查显示,截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆.已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆.设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得( )A. 10(1+x)2=16.9B. 10(1+2x)=16.9C . 10(1-x)2=16.9D . 10(1-2x)=16.9【答案】A【解析】因为年增长率为x ,从2013年到2015年连续增长两年,开始量为10万辆,结束量为16.9万辆,则可列方程10(1+x )2=16.9.8. 方程2x -4=0的解也是关于x 的方程x 2+mx +2=0的一个解,则m 的值为______. 【答案】-3【解析】∵ 2x -4=0,解得 x =2,把x =2代入方程x 2+mx +2=0,解得 m =-3. 9.设m ,n 分别为一元二次方程x 2+2x -2018=0的两个实数根,则m 2+3m +n =________.【答案】2016【解析】把m 代入方程得m 2+2m 的值,再用根与系数的关系求出两根之和m +n 的值,再把所求代数式化成此两代数式的形式, 即可整体代入求解,∵m 、n 是一元二次方程x2+2x -2018=0的两个实数根,∴m 2+2m -2018=0,即m 2+2m =2018,且m +n =-2,则原式=(m 2+2m )+(m +n )=2018-2=2016.10. 用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2的矩形,设矩形的一边长为x cm ,则可列方程为______________.【答案】 x (402-x )=64 【解析】矩形一边长为x ,则另一边长为402-x ,所以可列方程x (402-x )=64.命题点5解方程11. 解方程:2(x -3)2=x 2-9.【答案】解:原方程可化为2(x -3)2=(x +3)(x -3), 2(x -3)2-(x +3)(x -3)=0, (x -3)[2(x -3)-(x +3)]=0, (x -3)(x -9)=0, ∴x -3=0或x -9=0, ∴x 1=3,x 2=9. 命题点6化简求值12. 已知关于x 的方程x 2-(2m +1)x +m(m +1)=0. (1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).【答案】(1)证明:根据根的判别式b2-4ac=(2m+1)2-4m(m+1)=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0,∴方程总有两个不相等的实数根;(2)解:将x=0代入方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0得:0-(2m+1)·0+m(m+1)=0,即m2+m=0,原式=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5=3(m2+m)+5,将m2+m=0代入式中,原式=5.13.红旗连锁超市花2000元购进一批糖果,按80%的利润定价无人购买,决定降价出售,但仍无人购买,结果又一次降价后才售完,但仍盈利45.8%,两次降价的百分率相同,问每次降价的百分率是多少?【答案】解:设每次降价的百分率是x,则2000元糖果按80%的利润定价为:2000(1+80%)=3600(元),∴3600(1-x)2=2000(1+45.8%),∴(1-x)2=0.81,∴1-x=±0.9,∴x=0.1=10%,或x=1.9(舍去),答:每次降价的百分率是10%.14.某地区2014年投入教育经费2900万元,2016年投入教育经费3509万元.(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率.(2)按照义务教育法规定,教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四,结合该地区国民生产总值的增长情况,该地区到2018年需投入教育经费4250万元.如果按(1)中教育经费投入的增长率,到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元?请说明理由.(参考数据: 1.21=1.1, 1.44=1.2, 1.69=1.3, 1.96=1.4)【答案】解:(1)设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x,由题意得2900(1+x)2=3509,解得x 1=0.1 x 2=-2.1(不合题意,舍去),答:2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(2)按10%的增长率,到2018年投入教育经费为3509(1+10%)2=4245.89(万元), 因为4245.89<4250.答:按此增长率到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元. 满分冲关1.有x 支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是( )A . 12x(x -1)=45B . 12x(x +1)=45 C . x(x -1)=45 D . x(x +1)=45【答案】A【解析】根据题意:每两队之间都比赛一场,每队参加x -1场比赛,共比赛12x (x -1)场比赛,根据题意列出一元二次方程12x (x -1)=45.故选A.2. 若关于x 的一元二次方程x 2-3x +p =0(p ≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b ,且a 2-ab +b 2=18,则a b +b a的值是( )A . 3B . -3C . 5D . -5【答案】D【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得a +b =3,ab =p ,给a 2-ab +b 2=18左边配方得(a +b )2-3ab =18,所以9-3ab =18,得ab =-3,所以b a +a b =a 2+b 2ab=(a +b )2-2ab ab =9+6-3=-5,故选D.3. 定义新运算:a ★b =a(1-b),若a ,b 是方程x 2-x +14m =0(m <1)的两根,则b ★b-a ★a 的值为( )A . 0B . 1C . 2D . 与m 有关【答案】A【解析】∵a ,b 是方程x 2-x +14m =0(m <0)的两根.∴a +b =1,ab =14m .∴b ★b -a ★a =b (1-b )-a (1-a )=b (a +b -b )-a (a +b -a )=ab-ab =0.故选A.4. 已知,一元二次方程x 2-8x +15=0的两根分别是⊙O 1和⊙O 2的半径,当⊙O 1与⊙O 2相切时,O 1O 2的长度是( )A . 2B . 8C . 2或8D . 2<O 1O 2<8【答案】C【解析】一元二次方程x 2-8x +15=0两根分别是3和5,所以两个圆的半径分别是3和5,当两圆外切时,圆心距是8,当两圆内切时,圆心距是2.故选C.5.已知3是关于x 的方程x 2-(m +1)x +2m =0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长,则△ABC 的周长为( )A . 7B . 10C . 11D . 10或11【答案】D【解析】∵3是方程x 2-(m +1)x +2m =0的一个实数根,∴9-3(m +1)+2m =0,解得m =6,所得方程为x 2-7x +12=0,解之得x 1=3,x 2=4,若等腰△ABC 的腰长为3,底边长为4,则其周长为3+3+4=10,若等腰△ABC 的腰长为4,底边长为3,则周长为4+4+3=11.6. 已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k +1)x +k 2-2=0的两根为x 1和x 2,且(x 1-2)(x 1-x 2)=0,则k 的值是________.【答案】-2或-94【解析】∵(x 1-2)(x 1-x 2)=0,∴x 1-2=0或x 1-x 2=0.①如果x 1-2=0,那么x 1=2,将x =2代入x 2+(2k +1)x +k 2-2=0,得4+2(2k +1)+k 2-2=0,整理得k 2+4k +4=0,解得k =-2;②如果x 1-x 2=0,那么(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=[-(2k +1)]2-4(k 2-2)=4k +9=0,解得k =-94.又∵b 2-4ac =(2k +1)2-4(k 2-2)≥0,解得k ≥-94.所以k 的值为-2或-94.7. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤.通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.(1)若将这种水果每斤的售价降低x 元,则每天的销售量是________斤(用含x 的代数式表示);(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?【答案】解:(1)100+200x ;【解法提示】将这种水果每斤的售价降低x 元,则每天的销售量是100+x0.1×20=(100+200x )斤.(2)根据题意得:(4-2-x )(100+200x )=300, 解得x =12或x =1,∵每天至少售出260斤, ∴x =1.答:张阿姨需将每斤的售价降低1元.8. 李明准备进行如下操作实验:把一根长40 cm 的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2,李明应该怎么剪这根铁丝?(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2,你认为他的说法正确吗?请说明理由.【答案】解:(1)设剪成的较短的这段为x cm ,较长的这段就为(40-x )cm ,由题意得(x 4)2+(40-x 4)2=58, 解得x 1=12,x 2=28,当x =12时,较长的为40-12=28 cm , 当x =28时,较长的为40-28=12<28(舍去). 答:李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 两段. (2)李明的说法正确.理由如下:设剪成的较短的这段为m cm ,较长的这段就为(40-m )cm ,由题意得(m 4)2+(40-m 4)2=48,化简得:m 2-40m +416=0, ∵(-40)2-4×416=-64<0, ∴原方程无实数根,∴李明的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.9. 某蛋糕产销公司A 品牌产销线,2015年的销售量为9.5万份,平均每份获利1.9元,预计以后四年每年销售量按5000份递减,平均每份获利按一定百分数逐年递减;受供给侧改革的启发,公司早在2014年底就投入资金10.89万元,新增了一条B 品牌产销线,以满足市场对蛋糕的多元需求.B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份,平均每份获利3元,预计以后四年每年销售量按相同的份数递增,且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增,这样,2016年A ,B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份,B 品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数.(1)求A 品牌产销线2018年的销售量;(2)求B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数.【答案】解:(1)A 品牌产销线2018年的销售量为9.5-(2018-2015)×0.5=8(万份); (2)设A 品牌产销线平均每份获利的年递减百分比为x ,B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k 万份,依题意可列:⎩⎪⎨⎪⎧(9.5-0.5)+(1.8+k )=11.4(1.8+2k )·3(1+2x )2=10.89, 解得⎩⎪⎨⎪⎧k =0.6x =5%,或⎩⎪⎨⎪⎧k =0.6x =-105%,∵x >0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧k =0.6x =5%,∴2x =10%,即B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%.。

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