先从二次方程谈起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
b b 4ac x 2a
2
• 此公式早于公元前四百年，已被巴比伦 人发现和使用。 • 在中国的古籍《九章算术》中，亦有提 及与二次方程有关的问题。
由二次方程到三次方程
• 由于实际应用上的需要，亦由于人类求 知欲的驱使，很自然地，人类就开始寻 找三次方程的解法。 • 即寻找方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 一般根 式解。 • 很可惜，经过了差不多二千年的时间， 依然没有很大的进展！
b b 4ac x 2a
2
例二 解 x2 + 4x + 10 = 0
注意：a = 1、b = 4、c = 10
4 (4) 2 4(1)(10) x 2(1) 4 24 （无解） 2
回到二次方程结束…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
10 108 3 10 108
= 2
卡丹诺公式
解方程 x3 = mx + n 。 公式： x =
3
n n m + 2 3 2
2
3
3
n n m 2 3 2
2
3
例二 解 x3 = 15x + 4
卡丹诺公式
解方程 x3 = mx + n 。 公式： x =
3
n n m + 2 3 2
2
3
3
n n m 2 3 2
Байду номын сангаас
2
3
例一 解 x3 + 6x = 20
注意：m = 6、n = 20
x =
3
复数名称的确立
注意：
• 定义
36 36 1 6i
• i 1 = i , i 2 = 1 , i 3 = i , i 4 = 1 • i 4n + 1 = i , i 4n + 2 = 1 , i 4n + 3 = i , i 4n + 4 = 1
先从二次方程谈起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
• 法国数学家，早期概 率理论著作者之一 • 最著名的成就，是发 现「棣美弗定理」， 把三角函数引入复数 运算之中。
复变函数的引入
• 欧拉（Leonhard Euler, 1707 1783） • 瑞士数学家。 • 13 岁入大学，17 岁取 得硕士学位，30 岁右眼 失明，60 岁完全失明。 • 著作非常多，深入每个 数学分支，对后世影响 深远。
注意：m = 15、n = 4
x =
3
2 121 3 2 121 （无解）
但非常明显，x = 4 是方程的一个解！
另辟蹊径
• 韦达（Franç Viè ois te; 1540 1603） • 法国人，律师兼业余数 学家。 • 在三角学、代数学、方 程理论及几何学都有杰 出贡献。 • 1591 年，利用恒等式 cos3A = 4cos3A 3cosA， 解三次方程。
复数名称的确立
• 复数 z 是一种可以表示为 a + bi 形式的数， 其中 a 和 b 都是实数，i = 。 • 我们称 a 为复数 z 的「实部」， 记为 Re(z)。 • 又称 b 为复数 z 的「虚部」，记为 Im(z)。 • 若 a = Re(z) = 0，则称 z 为 「纯虚数」。 • 若 b = Im(z) = 0，则称 z 为 「纯实数」。
虚数
• 笛卡儿（RenéDescartes; 1596 1650） • 法国著名的哲学家 • 坐标几何的创始人 • 1637 年，他称一个负 数的开方为「虚数」 (imaginary number)。 • 但他不承认虚数是数 字的一种。
一大突破
• 棣美弗（Abraham de Moivre; 1667 1754）
先从二次方程谈起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
b b 4ac x 2a
2
例二 解 x2 + 4x + 10 = 0
注意：a = 1、b = 4、c = 10
4 (4) 2 4(1)(10) x 2(1) 4 24 （无解） 2
怪杰
• 卡丹诺 (Girolamo Cardano; 1501 1576) • 一个多才多艺的学者 • 一个放荡不羁的无赖 • 他精通数学、医学、语 言学、天文学、占星学 • 一生充满传奇，人们称 为他「怪杰」。
怪杰
• 1545 年，卡丹诺在 他的著作《大术》 （Ars Magna）中， 介绍了解三次方程 的方法。 • 从此，解三次方程 的方法，就被称为 「卡丹诺公式」。
复变函数的引入
• 1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角 函数的关系，并写出以下公式： e ix = cos x + i sin x • 1777 年，在他的著作《微分公式》中， 首次使用 i 来表示 。 • 他创立了复变函数论，并把它们应用到 水力学、地图制图学上。
几何解释
• 1797 年，挪威数学家维塞尔（Caspar Wessel; 1745 1818）提出复数的几何解释。
b b 4ac x 2a
2
例二 解 x2 + 4x + 10 = 0
注意：a = 1、b = 4、c = 10
4 (4) 2 4(1)(10) x 2(1) 4 24 2 6 i 2
复数诞生的故事
界首一中 心力
先从二次方程谈起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
b b 4ac x 2a
2
例一 解 5x2 9x 18 = 0
注意：a = 5、b = 9、c = 18 ( 9) ( 9) 2 4(5)( 18) x 2(5) 6 9 441 = 3 或 5 10
虚轴
• 1806 年，法国数学家 a + bi = r (cos + i sin) 阿根（Jean Robert
r O 实轴
Argand; 1768 1822） 亦提出类似的解释。 • 自此，人们亦称复数 平面为「阿根图」。
代数基本定理
• 高斯（Carl Friedrich Gauss; 1777 1855） • 德国数学家，人称 「数学王子」。 • 18 岁时，运用一些复 数运算原理，以标尺 画出正十七边形。 • 20 岁取得博士学位， 并成功地证明了「代 数基本定理」。