2、线变形。 3、边线偏转： (a)角变形；(b) 旋转运动。
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2、线变形
u x dx ， 因为角点P沿 x 方向的速度比角点A快（或慢） x 所以经过 dt 时段后，PQ边在 x 方向的伸长（或缩短）量为
u x dx dt 。单位时间单位长度的线变形称为线变形速度， x
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x、y、z 也是 t 的函数，因此
dux u x u x u x u x ax ux uy uz dt t x y z duy u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z duz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
ds dx u ux ds dy u uy ds dz u uz
可得流线方程：
dx dy dz ds ux u y uz u
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某一液体质点在不同时刻所流经的路线叫迹线。
dx u x dt 根据定义有 dy u y dt ， dz u z dt
如果流场中液体质点通过任一空间点时至少有一 个运动要素是随时间而改变的这种流动叫非恒定流。
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4-2 流线、迹线及其微分方程
拉格朗日法研究液体中各个质点在不同时刻运动的 变化情况；欧拉法则是在同一时刻研究不同质点的运 动情况。前者引出了迹线的概念，后者建立了流线的 概念。 在右图流线AB上取微分 段ds，其方向余弦为
dp p p p p ux uy uz dt t x y z
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流场中液体质点通过任
一空间点时，所有运动要
素都不随时间而改变叫恒
定流。
u x u y u z 0 t t t p 0 恒定流 t 0 t
沿x方向 沿y方向 沿z方向
ux
uy
u x dx x
u y x dx
u z uz dx x
同理，可写出微分平行六面体每个角点的分速度。
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平行六面体的整个 变化过程可看作是由下 列几种基本运动形式所 组成： 1、位置平移。
各点的速度均包含有 u x , u z ，
由图示，u x , u z 是平移速度。
dx u x ds u dy u y cos ds u dz u z cos ds u cos
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dx u x ds u dy u y cos ds u dz u z cos ds u cos
由此得到迹线微分方程式 dx dy dz dt ux u y uz 恒定流时，迹线和流线重合。可用下列微分方程式 表示： dx dy dz uy u uz x ux u y uz dx dy dz
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4-3
液体质点运动的基本形式
在液体中取一个微分平行六面体，各边长dx, dy, dz 取一角点P（x，y， z），令该点在各坐标轴上的分速 度为ux，uy，uz。由泰勒级数，Q角点速度为
时变加速度，恒定流时为零；非恒定时不等于零。 位变加速度，是否等于零并不决定于是否是恒定 流，而要看液体质点自一点转移到另一点时流速是 否改变。
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由此可知一个液体质点在空间点上的全加速度应 为：时变加速度和位变加速度之和。 这种概念同样适用于液体的密度与压强。
d ux uy uz dt t x y z
则
u x u x xx dx dt dx dt x x
同理
yy
zz
u y y
u z z
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3、边线偏转
u x dzdt d tg x ux dz dzdt x
3
在时刻t，某一液体质点通
过渐变段上的A点，经过时 间dt，该液体质点运动到新 的位置 A 。在时刻t，A点 流速为 ux ， A 点的流速为 u x 点的流速变为
ux u x dt t
u x dx 。在时刻t+dt，A x
，而 A 点的流速则变为
u x u x u x u x dx u x dxdt u x dx dt ux x x x t t
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因此，该液体质点通过A点时的加速度应为
u x u x u dx dt u x x u x u x x t ax ux dt t x
式中第一项叫做 时变加速度， 第二项叫做 位变加速度。
在三个坐标轴 上投影为:
dux ax dt duy ay dt duz az dt
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4-1 流速、加速度
一般情况下同一时刻不同空间点( x , y , z )上液体 的运动要素是不同的，即使在同一空间点上运动要 素也是随时间 t 而变化的。所以各种运动要素是空 间位置( x , y , z )和时间 t 的连续函数。
u x f x ( x, y , z , t ) u y f y ( x, y , z , t ) u z f z ( x, y , z , t )
第四章 液体运动的流场理论
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探索液体运动规律有流束理论和流场理论两种不同 的途径。 流束理论：将液体看作是一元流动，只考虑沿流束轴 线方向的运动，而忽略与轴线垂直方向的横向运动， 因而不是液体运动的普遍理论。 流场理论：把液体运动看作是充满一定空间（流场） 而由无数液体质点组成的连续介质运动，研究流场中 每个液体质点的空间位置、流速、加速度、压强等运 动要素之间的关系。是研究液体的三元流动，具有普 遍意义。