例2 计算

3
1 dx. 2x
解

3
1 2
dx x

1 2

3
1 2
x

(3

2x
)dx

1 2

3
1 2x

d
(
3

2
x)
32 xu

1 2

1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C. 2
例3 计算

x(1
1 2
ln
dx. x)
解
Hale Waihona Puke x(11 2ln
dx x)


1

1 2 ln
d x
(ln
x)

1 2

1

1 2 ln
d x
(1

2
ln
x
)
u 1 2ln x

1 2

1 du u

1 ln u 2

C

1 ln1 2
2 ln
x

C.
例4 计算
(1
x x
)3
dx
.
解

(1
x x
)3
dx


x 11 (1 x)3 dx

x a


1 arctan a
x C. a
作为公式
练习题
x
2

1 8x

dx. 25
练习题
1
x
2

8
x

dx. 25
解

x2

1 8x

dx 25


(
x

1 4)2

dx 9


(
x

1 4)2

32d
(
x

4)
1 arctan x 4 C.
3
3
1
x(1

x10
dx. )
例17 设f (sin2 x) cos2 x, 求f ( x).
例1 计算 sin x xdx.
解 sin x xdx 2 sin x ( x)dx
2 sin xd x
xu
2 sin udu 2cos u C
xu
2cos x C.
d(ax b)
dxn
万 能
凑
1 xn
dxn
幂 法
dsin x
(5) f (cos x)sin xdx
dcos x
(6)
f
(ln
x)
1dx x


f
(ln
x)d (ln
x)
1
(7)
f
(tan
x)

cos2
dx x


f
(tan
x)d (tan
x)
(8)
f
(cot
x)
1 sin2
u ( x )
F[( x)] C.
实际解题时,常常省略上述过程中的第三与第四等号.
二、常见的一些凑微分形式
常见的一些凑微分形式:
(1)

f (ax b)dx
1 a
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)

f
(xn )1 x
dx

1 n
(4) f (sin x)cos xdx
三、第一换元积分法习例
例1计算 sin x xdx.
例3
计算

x(1
1 2
ln
dx. x)
例5 计算
1 a2 x2dx.
例7
计算
x2
1
a2dx.
例9 计算
(1

1 x2
x 1
)e xdx.
例2
计算

3
1 2
dx. x
例4
计算

(1
x x)3
dx.
例6 计算
1 dx.
[
f
(u)du]u
(
x

)
F[( x)] C.
注意:
(1)第一换元法关键是适当选取u ( x)来凑微分.
(2)第一换元法的过程是:
g( x)dx f [( x)]( x)dx f [( x)]d( x)
u ( x )
f (u)du F(u) C
一、第一换元积分法
首先看复合函数的导数公式 : 设可微函数 y F(u), u (x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F((x)), 则
(F((x))) F((x))(x),
它的微分形式为
d(F((x))) F((x))(x)d x
记 F(u) f (u), 则
高等数学A
第3章 一元函数积分学
3.1 不定积分
3.1.4 不定积分的换元积分法
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
3.1 不定积分
第一换元积分法 常见的一些凑微分形式
3.1.4 换元积分法 第一换元积分法应用习例1-17
换
元
积
分 法
基本积分表2
第二换元积分法 第二换元积分法应用习例18-20
小结与思考题
3.1.4 不定积分的换元法
利用积分性质和简单的积分表可以求出 不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的.
现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 —— 不定积分换元法. 它是在积分 运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的 积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分 是比较容易积出的.
dx x


f
(cot
x)d (cot
x)
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx


f
(arcsin
x)d (arcsin
x)
(10)
f
(arctan
x)

1
1 x2
dx


f
(arctan
x)d (arctan
x)
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex


[ (1
1 x)2

(1
1 x)3
]d (1

x)

1
1
x

2(1
1
x)2

C.
例5 计算
1 a2 x2dx.
解

a2
1
x 2 dx

1 a2

1
1

x a2
2 dx
想到公式

1
d
u u
2
arctan u C

1 a

1

1

x a

2
d

a2 x2
1
例8 计算 1 e xdx.
例10 计算
例11
计算

1

1 cos
x
dx.
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
例13 计算 cos 3x cos 2xdx. 例14 计算 csc xdx.
例15 计算
1 4 x2 arcsin xdx.
2
例16 计算
原式变形为 cos 2xdx
1 令u 2 x
1
2 cos udu 2 sin u C
1 sin 2x C. 2
f ((x))(x) d x
第一换元法(凑微分法)
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式

f [ ( x)]( x)dx
原函数?
被积表达式?
d(F((x))) f ((x))(x)d x f (u)du,
也是被积表达式?
积分形式不变性
引理 若 f ( x)dx F ( x) C, 则 f (u)du F (u) C,其中u ( x)可微.
例如 cos 2xdx sin 2x C,