F (t) C F[j -1(x)] C.
其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.
这是因为, 由复合函数和反函数求导法则,
{F[j -1(x)]}
F (t)
dt dx
f
[j(t)]j(t)
1 dx
f
[j(t)]
f
(x)
.
dt
一、第二类换元法基本类型
❖（1）三角代换去根式
❖（2）根式代换(去根式) ❖（3）倒代换
22
a2 x2 a sect.
•去 根 x2 - a2 (a 0) 式作代换 x asect, t (0, )
2 x2 - a2 a tan t.
dx asect tantdt
y sec x
例1 求 a2 - x2 dx (a 0)
解 令x asin t dx acostdt t - ,
ln | x x2 a2 | C
❖（2）根式代换(去根式)
例4 求
1 dx x (1 3 x )
解 令 x t 6 (t 0), dx 6t5dt
1 dx x (1 3 x )
t
3
6t 5 (1 t
2
)
dt
6t 2 1 t2
dt
6
t
2 1 1 t
-
2
1
dt
6
1
1 1 t2
dt
6[t
-
arctant]
C
6[6 x - arctan 6 x ] C
❖（2）根式代换(去根式)
例5
1
求 1 ex dx
解令 t 1 ex , ex t 2 -1,
x ln(t 2 -1),
dx
t
2t 2 -1
dt.
1 dx
1 ex
1 t
t
2t 2-
dt 1
2
t
2
dt -1
ln t -1 C
（3）求
xdx 2x - x2
解
xdx 2x - x2
(x -1)dx 2x - x2
dx 2x - x2
- 1
d(2x - x2 )
d(x -1)
2 2x - x2
1- (x -1)2
- 2x - x2 arcsin(x -1) C
课堂小结
熟记第二换元积分法的几种基本类型，会 用第二换元积分法去求一些不定积分,如果 被积函数含有根式，考虑用第二换元积分法
解 令x a tant dx a sec2 tdt t - ,
1 dx x2 a2
1 a sec2 tdt a sect
2 2
辅助三角形
sectdt ln | sect tan t | C1
代回
ln
x2 a2 x aa
C1
ln | x x2 a2 | C1 - ln a
t 1
2ln( 1 ex -1) - x C
(3)倒代换 一些情况下(如被积函数是分式, 分母的方
例6
求
1 x(x7
dx 2)
较高时幂),可作倒代换x 1.
t
解
令x 1, t
dx
-
1 t2
dt
1
x(x7
dx 2)
t 17 t
-
1 t2
2
dt
-
t6 1 2t 7 dt 1 d(1 2t 7 )
❖（1）三角代换去根式
•去 根 a2 - x2 (a 0) 式作代换 x a sin t, t (- , ), dx acostdt
22
a2 - x2 a cost.
•去 根 a2 x2 (a 0) 式作代换 x a tan t, t (- , ), dx asec2 tdt
14 1 2t7
- 1 ln |1 2t7 | C
14
-
1>14>ln>| 2
x7
|
1 2
ln
|
x
|
C
课堂练习：
(1) 1 dx. x3 x4 1 dx
(2) 4x2 9
xdx
（3） 2x - x2
（1） 求 1 dx. x3 x4 1
解
令x 1,
t
dx
-
1 t2
dt
x3
1 dx x4 1
2 2
a2 - x2 dx a2 - a2 sin2 ta costdt
a2 cos2 tdt a2 Nhomakorabea1 cos2tdt 2
辅助三角形
a2 (t 1 sin 2t) C
22
a2 (t sin t cost) C
2
回
a2 arcsin x x a2 - x2 C
代
2
a2
例2 求 1 dx (a 0) x2 a2
第四章 不定积分
第二节 不定积分的换元积分法
主要内容：
1. 第二类换元法基本定理 2. 第二类换. 元法基本类型
.
一、第二类换元法基本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
f (x)dx f [j(t)]j(t)dt
课后练习
P140
1(35)(37)
例9 求
xdx 2x - x2
解
xdx 2x - x2
(x -1)dx 2x - x2
dx 2x - x2
- 1
d(2x - x2 )
d(x -1)
2 2x - x2
1- (x -1)2
- 2x - x2 arcsin(x -1) C
t -3
1 t -4
1
-
1 t2
dt
- t3 dt - 1 1 d(t 4 1)
1 t4
4 1t4
- 1 1 t 4 C - x4 1 C.
2
2x2
（2）求
dx 4x2 9
解
dx 4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x)
2 (2x)2 32
1 ln 2x 4x2 9 C 2