解 : z1 55i 7i z2 34i 5
例2:求
1i 4
1i
1 i i 1 i
12
例3.证明若 z是实系数方程 anxn an-1xn1 a1xa0 0
的根,则z也是其.根(实多项式的零点成现对 ) 出
例 4 . 证 : z 1 z 2 2 z 1 明 z 2 2 2 z 1 2 z 2 2
记作θ0=argz。 A z=0时，辐角不确定。
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
y arctan
x
2
y
arctan
x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
16
A 当z落于一,四象限时，不变。
1.1.1 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi
为复数。其中i2 1, i称为虚单位。
7
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 |z| x2y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2, y1 y2, 其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im(z) 0
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模： | z||OP|r x2 y2, y
P(x,y)
记作
辐角 : Arzg
A z 0 OP 0
z r
o
x
x
15
z 0 时 ta， A n z)r (y g /x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
5
R. Descartes(笛卡儿): 1596-1650, 法国哲学家，坐标几何的创 始人．1637他称一个负数的开方为虚数(imaginary number).
L.Euler(1707-1783): 瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右 眼失明，60岁完全失明．
1748年：Euler公式 eicosisin
复变函数与积分变换
•教
材: 复变函数与积分变换（第3版）杨巧林
• 参 考 书: 《复变函数与积分变换》（第四版）
、其它各类相关教材
1
复变函数与积分变换
• 作业要求: 一章结束交作业，按时 交给各班课代表
• 上课要求: 按时上课(有事要请假); • 课程性质: 专业基础选修课程; • 课程基础: 高等数学基本知识 • 总课时数: 48
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1z2)z1z2 (2) z z
(z1z2)z1z2
(4)zz 2Rez()
( z1 ) z1 z2 z2
zz 2i Imz()
(3)zz Re(z)2 Im( z)2 x2 y2
1z z | z |2
11
例1:设z1 55i,z2 34i, 求z1 ,(z1)及它们的实部,虚部. z2 z2
2
复变函数与积分变换
• 课程要求: 要求着重理解基本概念; 要求掌握基本方法;
• 成绩评定:
期末总成绩=期末成绩 * 70% + 平时成绩* 30%;
3
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transforms
盐城师范学院数学科学学院 王住登
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§1.2 复数的几何表示
1. 点的表示
易见 z， xiy 一对有(序 x,y)实 , 数 在平面上取定直系 角， 坐则 标 任意点 P(x, y)一对有序实 (x,数 y) zxiy平面上的 P(点 x, y) 复z数 xiy可用平面(上 x， y坐 )的标 P 点 表为 .示 此时 x轴 ， — 实轴 y轴 — 虚轴
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实
性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展．
6
复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛 的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问 题的有力工具。
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数及其运算
A 一般, 任意两个复数不能比较大小。
8
1.1.2 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) zz z1 2x 1 x |2 z 2|2 y 1y 2 ix 2y |1 z 2|x 21y 2 (z2 0 )
1777年：首次使用"i"表示，创立了复变函数论，并应用 到水利学，地图制图学 ．
C.Wessel (卡斯帕尔·韦塞尔，挪威1745-1818)和R.Argand(阿甘得 ，德国1777-1855）将复数用平面向量或点来表示．
K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
4
复数的诞生
先从二次方程谈起: 公元前400年，巴比伦人发现和使用
a2xb xc0,(a0),
则当 b24a c0时无解，当 b24a c0
时有解：
xb b2 4ac 2a
G. Cardano (卡当，1501-1576) : ＂怪才＂，精通数学，医学， 语言学，文学，占星学．他发现
x10x40
没有根，但形式地表为 5 15与 5 15
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•运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
10
•共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
平面 — 复平面 z平或 面
点的表示：z x iy 复平面上的点P(x，y)
A 数z与点z同义.
14
2. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的