2l
(1)k (2l 2k)! xl2k k!(l k)!(l 2k)!
由上式易得，p0
1 、P1
x
、P2
1 (3x2 2
1)
、P3
1 2
l
Pl (x)
[] 2 k 0
(1)k l!(2l 2k 1)!! 2k k!(l 2k)!(2l 1)!!
(2l)! 2l (l!)2
xl2k
[l ] 2 k 0
(1)k (2l 2k 1)!!(2l 2k)!! 2k k!(l 2k)!(2l 2k)!!
xl2k
[l ] 2 k 0
(k 2)(k 1)ck2 k(k 1) 2k l(l 1)ck xk 0
k 0
↓
k(k 1) l(l 1) (k l)(k l 1)
xk 的系数：(k 2)(k 1)ck2 (k l)(k l 1)ck 0 (k 0,1,2… )
∴
ck 2
(k l)(k (k 2)(k
[在第十二章“球坐标系下的分离变数法”中，勒让德多项式和球 函
数要用此处结果，在那里 l(l 1) 取值待定、而 x cos ]
1)同一般形式比较
p(
x)
2x 1 x2
,
q(x)
l(l 1) 1 x2
均在 x 1上解析，故 x0 0是方程的常点
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第八章
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2)设y ck xk
第八章 线性常微分方程的级数 解法和某些特殊函数(P148)
基本内容:常点和正则奇点邻域上的幂级数解法;勒让德 多项式、贝塞尔函数等特殊函数;非齐次方程 的通解.
本章难点:正则奇点邻域上的幂级数解法.
本章既是本课程下篇的基础,也是学习近代物理的基础, 所以学好本章具有重要意义.
§8.1 常点邻域方程的级数解 勒让德方程
多项式, y0(x)仍发散舍去.
总之,l=整数：方程的两个特解中有一个退化为l次多项式 (l阶勒让德多项式),另一个发散级数解舍去.
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5) l 阶勒让德多项式
yl (x)
[
l 2
]
cl
2k
x
l
2k
cl
k 0
xl
cl 2 xl 2
c2 c3
x2 x3
c0 c1x
∵
cn
k 1
(2k )!
y1
1
k 1
c2k1 x 2k1 1 c1
k 1
(2k
1 l) (3
l)(1 l)(l (2k 1)!
2)(l
4) (l
2k )
x 2k1
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4)讨论：解在 x 1上是绝对且一致收敛的，在物理上需要考虑 x 1处的收敛问题，P151具体论证了y0(x)在x=1发散
(2k
1
l)
(3
l)(1 l)(l (2k 1)!
2)(l
4)
(l
2k )
c1
(k 1,2,)
y c0 y0 (x) c1 y1(x)
y0
1 c2k k 1 c0
x2k 1 (2k 2 l)(2k 4 l) (2 l)(l)(l 1)(l 3) (l 2k 1) x2k
k 0
b)将 y(x)、p(x) 、q(x) 在 x x0 R上的幂级数展开式代入方程，
并比较(x-x0)的同幂项系数，给出系数{ak}的递推公式； c)运用系数递推公式，将系数确定至两个积分常数；
d)讨论.
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2勒让德方程
(1 x2) y 2xy l(l 1) y 0, x0=0.
5) (l 1)l 3)(2l 1)
cl
(1)k
(l
l!(2l 2k )!
2k 1)!! (2k)!!(2l
1)!!
cl
上式中k=1,2,…,
l 2
{
l 2
l
1 2
( l 偶数) }
( l 奇数)
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若选 cl
(2l)! 2l (l!)2
则使得yl(1)=1,此时yl(x)称为l阶勒让德多项式
k 0
y k(k 1)ck xk2
k 0或 2
(l 2)(l 1)cl2 xl (k 2)(k 1)ck2 xk
l 0
k 0
将以上诸式代入勒让德方程，得
x2 y k(k 1)ck xk k 0
2xy 2kck xk k 0
l(l 1) y l(l 1)ck xk k 0
• 1常点邻域方程的级数解
• 2勒让德方程
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1常点邻域方程的级数解
方程的一般形式
y(x) p(x) y(x) q(x) y(x) 0 (8.1)
定解条件： y(x0 ) c0, y(x0 ) c1,
（8.2）
为应用解析函数理论设p(z)、q(z)、y(z)是分别由p(x)、q(x)、 y(x)唯一确定的复变函数.为了书写方便变量仍记作x.
y0 (x)及y1(x)在x 1都发散.
所以,要求 y x1 有限值,是数学问题有物理意义的必然要求. l 2n, c2(n1) c2(n2) 0，y0(x)退化为l=2n次多项式, y1(x)
仍发散舍去；
l 2n 1：c2(n1)1 c2(n2)1 .... 0, y1(x)退化为l=2n+1次
(n 2)(n 1) (n l)(l n 1)
cn2
l 2n l 2n 1
∴
cl 2 k
(l
2k 1)(l 2k 2) (2k)(2l 2k 1)
cl2(k 1)
(1)k
(l
2k 1)(l 2k 2)(l 2k 3)(l 2k (2k)!!(2l 2k 1)(2l 2k 3) (2l
l 1) 1)
ck
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3)定系数：
c2k
(2k
2 l)(2k 2k(2k 1)
1
l)
c2(k
1)
(2k
2
l)(2k
4
l)
(2
l)(l)(l (2k )!
1)(l
3)
(l
2k
1)
c0
c2k
1
(2k 1 (2k
l)(2k 1)( 2k )
l)
c2(k
1)1
(k 1,2,)
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1)方程的常点：p(x),q(x)在x x0是解析的，则 x0称为方程的常点。
2)解的存在和唯一性定理：设函数 p(x)在 x x0 R 内是解析的，
则(8.1)存在唯一的满足条件(8.2)的解析函数 y(x) .
3)求解步骤：
a) 确定x0为方程常点，设 y(x) ak (x x0 )k ；