y
min j
2.1.2决策表的规范化方法
常用的数据预处理方法
最优值为给定区间时的变换
设给定的最优属性区间为
[
y
0 j
,
y
* j
],
1-
(
y
0 j
-
yij
)/(
y
0 j
-
y j ’)
若
yij
＜
y
0 j
zij = 1
若
y
0 j
≤
yij
≤
y
* j
1
-
(
yij
-
y
* j
)/
(
y
j
”-
y
* j
)
若
yij
1、 加权求和
属性间的矛盾性和各属性值的不可公度性可以通过数据 的规范化得到一定程度的缓解，但前述规范化过程不能 反映目标的重要性。权重，是属性重要性的度量，即衡 量目标重要性的手段。
一般地，权重有三重含义: ① 决策人对目标的重视程度； ②各目标属性值的差异程度；③各目标属性值的可靠程 度。
距离的计算则可以以欧几里德几何距离为计算依据。 所谓正理想解是各可行方案利益面属性值最大者，成本
面属性值最小者；反之，负理想解是各可行方案利益属 性则值最小者，成本面属性值最大者。
3、 TOPSIS方法
步骤一. 用向量规法求得规范决策矩阵 步骤二. 构成加权规范阵 步骤三.确定正理想和负理想解 步骤四.计算各方案到正理想解与负理想解的距离 步骤五.计算各方案与理想解的接近程度 步骤六.按接近程度由大到小排列方案的优劣次序
则称函数 f 为几何平均算子（geometric averaging (GA) operator）。
2.2.1 实数型MADM方法
定义 5. 设函数WAA: Rn R ， (a1, a2,, an ) 是一组给定的数据,若
n
WAAw (a1, a2,, an ) wiai i1
其中 w = (w1, w2,, wm )T 是数据 (a1, a2,, an ) 的权重向量， wj [0,1] ，
4、 ELECTRE方法
ELECTRE(Elimination et choix traduisant laréalité)法首先 1966年被Benayoun等人提出，ELECTRE 最主要的概念是 去处理方案和方案间使用准则做为评估的级别高于关系 (“out ranking relationship”) ,即建立方案和方案间的级 别高于关系以淘汰较差的方案。
a*{aj| jarm g aejx}{ }
2.2.1 实数型MADM方法
2、属性权重完全未知时的实数型MADM方法
定义 7. 设函数 OWA : Rn R ， (a1, a2,, an ) 是一组给定的数据，若
n
WAA (a1, a2 ,, an ) jbj j 1
其中 ω (1,2 ,,m )T 是与函数 OWA 相关联的权重向量， j [0,1] ，
raging (OWG) operator)。
2.2.1 实数型MADM方法
上述算子的特点是：对数据 (a1, a2 ,, an ) ，按从大到小的顺
序重新进行排序并通过加权集结。而且元素 ai 与i 没有任何联
系。只与集结过程中的第 i 个位置有关(因此加权向量 ω 也称为
位置向量)．
2.2.1 实数型MADM方法
第二章 多属性决策
目录
2.1 MADM的理论基础 2.2 几种MADM方法 2.3 层次分析法 2.4 网络分析法
2.1 MADM的理论基础
2.1.1 MADM的基本概念 2.1.2 决策表的规范化方法 2.1.3 几种常见的综合评价法
2.1.1 MADM的基本概念
多属性决策，也称有限方案多目标决策，普遍存在于 工程、社会和经济等系统之中，它是决策理论与方法 研究的重要内容。它要解决的主要问题是方案的选优 或方案的排序问题。通常，每个多属性决策问题都包 含以下五个要素: 决策单元和决策人 属性集 候选方案集 决策规则 决策情况
2.2.1 实数型MADM方法
属性权重完全已知时的实数型MADM方法 属性权重完全未知时的实数型MADM方法
2.2.2模糊数MADM方法
属性权重完全已知时的直觉模糊数MADM方法 属性权重完全未知时的直觉模糊数MADM方法
2.2.3语言型MADM方法
2.2.1 实数型MADM方法
定义 3. 设 (a1, a2,, an ) 是一组给定的数据，函数 f : Rn R ，若
f
(a1, a2,, an )
1 n
(a1
a2
an )
1 n
n i 1
ai
则称函数 f 为算术平均算子（arithmetic averaging (AA) operator）。 定义 4. 设 (a1, a2,, an ) 是一组给定的数据，函数 f : Rn R ，若
n
f (a1, a2,, an ) n a1a2 an n ai i1
2.2.2 模糊数MADM方法
定义 9. 设 X 是一个非空的有限集。X 上的直觉模糊集 A 定
义为： A { x, A(x),vA(x) x X}
这 里 对 于 任 意 X 中 的 x ， A : X [0,1] ， vA : X [0,1] ， 且 0 Ax vAx 1。
函数 A (x) , vA (x) 和 A(x) 1 A (x) vA (x) 分别叫做隶属度，非 隶属度和犹豫度。二元组 (x) ( (x), v (x)) 叫做直觉模糊数。事实 上，(, v) 对应[0,1]上的一个闭区间[,1 v] 。全体直觉模糊数的 集合记为 H 。
＞
y
* j
2.1.2决策表的规范化方法
常用的数据预处理方法有下列几种。 向量规范化
zij yij
m
yi2j
i1
原始数据的统计处理
zij =
_
yij y j
_
y + M
2.1.3几种常见的综合评价法
1、加权求和 2、几何平均 3、TOPSIS方法 4、ELECTRE方法 5、MAVT法
2.1.2决策表的规范化方法
决策表中的数据的规范化有三种作用：
其次是非量纲化。多目标评估的困难之一是指标间不 可公度，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位 (量纲)。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表 中的数值也就不同。在用各种多目标评估方法进行评 价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就 是非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲， 仅用数值的大小来反映属性值的优劣。
不计权重时 考虑权重时
n
Ci n zi1zi2zin n zij j1
n
C i
zwj ij
j 1
2、 几何平均
几何平均数较之算术平均数，应用范围较窄， 它有如下特点：
①如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法 计算G
②G受极端值影响较X和H小； ③它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总
标志值不是各单位标志值的总和，而是各单位标志 值的连乘积的情形。对于这类社会经济现象，不能 采用算术平均数反映其一般水平，而需采用几何平 均数。
3、 TOPSIS方法
TOPSIS是由Hwang and Yoon所发展出來的一种多属性决 策方法，采用与正理想解之相对接近值的方法來进行方 案的排序，在选择方案时以距离正理想解最近，而距离 负理想解最远的方案为最佳方案。
实际的综合评价问题中，由于人为因素或客观因素的影响， 实际的决策问题中常常伴随着许多不确定性，如随机性、模糊性、 粗糙性等。因此，随着研究的深入，不确定性多准则决策的研究 越来越受到重视。模糊集理论是一种强有力的描述不确定性的工 具。不确定环境下地多属性决策问题是近年来的研究热点。自从 Zadeh 提出模糊集的概念之后，有许多拓展和推广的更适合表示 模糊信息的模糊集。以直觉模糊数为例，我们重点讨论该环境下 的多属性决策问题。
2.1.1 MADM的基本概念
一般地，当决策人对候选方案关于属性进行评估之后， 评估数据汇总为下面矩阵形式的决策表：
y11 y12
y21
y22
ym1 ym2
y1n
y2n
ymn mn
2.1.2决策表的规范化方法
决策表中的数据的规范化有三种作用： 首先，属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越 好，如科研成果数、科研经费等是效益型；有些指标 的值越小越好，称作成本型。这几类属性放在同一表 中不便于直接从数值大小来判断方案的优劣，因此需 要对属性表中的数据进行预处理，使表中任一属性下 性能越优的值在变换后的属性表中的值越大。
基于 OWA、 OWG 算子多属性决策方法的步骤如下：
步骤一. 对于每个候选方案 a j ，结合关联权重 ω ，利用OWA
算子或 OWG 算子集结其综合评价 e j ， j 1,2,, n 。 步骤二. 根据 ej 的大小对方案排序，选择最优方案
a* {aj | j argmax{ej}}。
2.2.2 模糊数MADM方法
n
WGA (a1, a2,, an )
bi i
i1
其中 ω (1,2 ,,m )T 是与函数 OWA 相关联的权重向量， j [0,1] ，
n
1 j n ， j 1，且 b j 为数据组 (a1, a2,, an ) 中第 j 个大的元素，则 j 1
称函数 OWG 为有序加权几何平均算子 (ordered weighted geometric ave
n
1 j n ， wj 1，则称函数WGA为加权几何平均算子。 j 1
2.2.1 实数型MADM方法
基于WAA 、WGA算子多属性决策方法的步骤如下： 步骤一. 对于每个候选方案，结合属性权重，利用WAA 、