2.2.2非线性最小二乘法
将非线性关系y=f（ ）直接代入偏差平方和表达式中，采用极小值的求法得出 的数值，较为繁琐。计算步骤如下[16,17]：
①设所求参数真值为 （j=1,2， ），另取初值 ，其差值 故
②将函数y=f（ ）在 ，处展开乘泰勒级数。由于初值 ，与真值 应当很接近，故可以略去函数的泰勒展开式高次项，取得一阶近似展开式：
图1.2环境下会使构成硅陀螺仪的材料产生不同形变,进而引起的附加力矩导致输出偏差[5]。从图1.2中也可以看出温度敏感漂移是环境敏感漂移的重要因素之一。一般陀螺仪的精度用漂移率大小来衡量，漂移率愈小，说明陀螺仪的精度愈高[6][7]。
表2.1温度漂移数据
温度/℃
漂移/mV
温度/℃
漂移/mV
-45
6
5
12
-35
7
10
12.6
-25
8.5
15
13.3
-15
10
25
14.5
-10
10.3
35
15.6
-5
10.7
45
16.9
0
11.2
60
18.4
是由原始漂移数据得到的数据序列， 是累加得到的数据序列。
X= (2.7)
(2.8)
= (2.9)
图2.1硅微陀螺仪零偏随温度变化的规律
将分段拟和多项式存储于微处理器的存储器,补偿过程中由实时测量的温度值T通过此多项式可以计算得到不同温度下陀螺的零偏值Bias,在陀螺输出值中减去Bias即可得到补偿后的陀螺输出信号。
2.3小波网络法的温度漂移模型
将离散小波基函数，作为小波网络隐层节点的激发函数，由于不考虑正交性，小波函数的选取有很大的自由度。根据被辨识对象的时频特性确定尺度因子j、平移因子k的取值范围后，网络的可调参数只有隐层到输出层的权值，且权值与网络输出呈线性关系，可通过最小二乘法修正权值，使网络输出一致逼近被辨识对象[15]。
参考文献
[1]闫子波,魏鸣.微机械陀螺仪的工作原理及其应用.电子设计技术.2009,(09):62-64
[2]潘金艳,朱长纯,樊建民.微机械陀螺零位误差的研究.西安交通大学学报，2006，40(4):480-483.
[3]罗均,谢少荣.微型传感器及其应用.北京:化学工业出版社，2005:64-65, 182.
式中 （i=1,2, ,m,m为实验点数）
③令 ， , ，则展开式可写为：
,这是线性关系式的特殊形式。
④将多元线性最小二乘法拟合的正规方程式应用于上式,得出其正规方程组：
(k=1,2, )
a=
y= =
⑤以高斯消元法或其它方法求解正规方程,即可得出 ,即 ,求出 = ，此式是一个近似式，因而得出 也是一个近似值。将首次求出的 值赋给 作为新的初值，重复上述过程，再求出新的 值，从而新的初值,反复迭代,直到得出足够精度的 为止。
温度变化对陀螺精度的影响主要反映在两个方面：一是陀螺器件材料性能本身对温度的敏感性；二是周围温度场对陀螺工作状态的影响[8]。为了提高精度、补偿温度漂移误差，必须进行必要的温控或温度补偿措施。目前国内外的研究措施如下：
①通过合理设计和改善陀螺结构，使陀螺器件的布局、零件的材料和结构形状，满足对温度不敏感的要求；
其响应模式为：
（2.10）
最后对 作还原处理，得到 的拟合值 即：
对GM(1,1)模型进行改进，取 ，对原始数据序列进行对数变换。然后按原模型进行建模，其响应式为：
(2.11)
(2.12)
GM(1,1)模型拟合所得漂移值，与实验测得的漂移值，平均相对误差3.44%,改进后的平均相对误差1.39%。因此建立的该模型具有该类陀螺的通用性。
1.微机械陀螺仪的温度误差分析
微机械陀螺仪的精度是决定惯性系统精度的核心因素，陀螺仪的精度较低，对姿态测量系统的动态性能影响很大。由于其对温度敏感度大，温度漂移成为其主要的误差源之一。首先分析微机械陀螺仪的工作原理，然后分析温度对微机械陀螺仪的影响。
1.1微机械陀螺仪的工作原理
微机械陀螺仪利用了哥氏力现象，其原理如图1.1所示。图中的物体沿X轴做周期性振动或其他运动时，并且XY坐标系沿Z轴做角速度为 z旋转运动，就会在该物体上产生一个沿Y轴方向的哥氏力，其矢量可按式1计算[4]。
Bias=0.4813 + 0.00719T- 0. 000735 +0.0000416 ;(2.13)
当-10℃≤T≤50℃时,
Bias= 0. 4313 - 0.00629T+ 0. 00121 +0.00000642 ;(2.14)
当50℃≤T≤80℃时,
Bias= - 673.07 + 42.879T- 1.0146 +0.01053 ;(2.15)
关键词：微机械陀螺仪；温度误差；灰色模型；最小二乘法；小波网络法
The researchonerror analysis andmodelofmicroelectron-mechanical gyroscope
(College of Aerospace Engineering, Nanjing University of Aeronautics &Astronautics, Nanjing, 210016, China)
2.2最小二乘法的温度补偿模型
2.2.1基本最小二乘法
基本最小二乘法，其统计学原理是[14]：设物理量y与l个变量间的依赖关系为y= ，其中 是方程中需要确定的n+1个参数。最小二乘法就是通过m（m＞n+1）个实验点（ ）（i=1,2， ）确定出一组参数值（ ），使由这组参数得出的函数值 与实验值 间的偏差平方和s（ ）= 取得极小值。为了减小随机误差，一般进行多点测量，使方程式个数大于待求参数的个数，即m＞n+1。这时构成的方程组叫做矛盾方程组。通过最小二乘法进行统计处理,将矛盾方程组转换成未知数个数和方程个数相等的正规方程组,再进行求解得出 。
（2.1）
其中 = ，可由最小二乘估计得[11]:
（2.2）
（2.3）
其模型方程的白微分方程为：
=b（2.4）
其响应式为：
（k+1）= + (2.5)
（k+1）= (2.6)
2.1.2微机械温度漂移灰色模型
杨金显，袁赣南等人[12]在微机械温度试验的基础上，通过灰色模型对温度漂移进行了建模研究。温度测试数据如表2.1所示。
同目的的系统辨识，可以选择不同的小波基函数。为了兼顾拟合精度与平滑性两方面的要求，要选择合适的小波网络基函数的尺度因子。
3.结论
对微机械陀螺仪的误差进行估计和补偿，是在保证性能价格比的前提下，提高惯性导航系统精度的有效途径。本文主要就温度因素，展开了其对微机械陀螺仪的误差分析，并对温度误差的补偿模型，灰色模型的温度漂移模型、最小二乘法模型及小波网络法模型进行了介绍。其研究是在试验的基础上，进行建模分析，并与试验数据进行了比较，具有一定的适应性，并取得了一定的成果，具有重要意义。
微机械陀螺仪的温度误差分析和模型研究
摘要：微机械陀螺仪是一种用于测量物体运动角速度的新型惯性器件。这种新型陀螺仪具有体积小、重量轻、可靠性高、抗冲击、易于数字化和智能化、能大批量生产等优点，是未来惯性技术向民用领域大量推广应用最有前途的仪表。但环境温度是对其性能有重大影响。本文主要对微机械陀螺仪的温度误差原因进行分析，并对现有温度误差分析补偿模型进行了介绍。
[4]Tanaka K, Mochida Y, Suzimoto M, et al. Amicromachined vibrating gyroscope. Sensors and Actuators, 1995, A50: 111 -115
[5]AGGARWAL P,SYED Z,NIU X,et al. A standard testing and calibrationpr-ocedure for low cost MEMS inertial sensors and units[J].The Journal of Nav-aigation,2008,61:323-336.
2.2.3温度补偿模型
顾广清，夏敦柱等通过微机械陀螺仪的温度试验，用最小二乘法建立了温度补偿模型[12]。如图2.1所示，为陀螺在各个温度点对应的零偏值,图中实心点表示测量的原始数据,由这些点可以大致看出陀螺零偏随温度变化的规律,二者之间呈较复杂的非线性关系。用最小二乘法进行拟合。拟合分为三段：
当-40℃≤T≤-10℃时，
Key words:microelectron-mechanical gyroscope；temperature error；gray model；wavelet network
陀螺仪又称角速度计，可以用来检测旋转角速度和角度。传统的机械陀螺、精密光线陀螺和激光陀螺等已在航空航天等军事领域得到广泛应用。但是无论从尺寸还是成本上，都不能满足微型武器的应用要求[1]。近年来，随着半导体技术集成电路微细加工技术的迅速发展，MEMS(Micro-Electro-MechanicalSystem)惯性器件得到快速发展，微机械陀螺仪也得到快速发展，它具有体积小，抗冲击，可靠性高，寿命长，成本低等特点，在军事和民用等领域应用前景广阔[2]。据各国研究成果表明，随着器件精度的不断提高，微机械陀螺仪技术必将在未来的军用及民用的相关领域中发挥越来越重要的作用[3]。但是由于性能限制，MEMS陀螺主用于中低精度导航。在微机械陀螺中的众多误差因素中，环境温度的影响是不可忽视的。因此对微机械陀螺仪的温度特性进行分析，并进行温度误差的建模和补偿是提高精度的有效手段，也是当前MEMS陀螺研究的热点之一。
(1-1)
图1.1哥力氏现象
1.2温度对微机械陀螺仪的影响
目前针对零偏值影响因素的研究非常广泛。影响IMU陀螺仪的零偏值因素主要有:加速度计输出值、安装误差、刻度因子、系统电路、温度。陀螺仪的误差主要包括确定性误差及随机误差，前者主要指扰动误差(敏感物理模型中的参数变化)和环境敏感误差(敏感环境的干扰)；后者指由不确定因素引起的随机漂移，主要包括速率随机游走、量化噪声和角度随机游走等。图1.2列出了陀螺的主要误差源。