例题解析（1）例1设随机变量X 和Y 相互独立，),(~),,(~222211σμσμN Y N X 。

1621,,,X X X Λ是X 的一个样本，1021,,,Y Y Y Λ是Y 的一个样本，测得数据∑∑∑∑========1012101161216172,18,563,84i i i i i ii i y y x x（1）分别求21,μμ的矩估计量；（2）分别求2221σσ，的极大似然估计值； （3）在显著水平05.0=α下检验假设 22210σσ≤：H ，22211σσ>：H 。

解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1μ和2μ的矩估计值：8.1101ˆ,25.5161ˆ10121611=====∑∑==i i i i y x x μμ。

（2）正态总体),(~2σμN X 的参数2σ的极大似然估计量为∑=-==n i i X X n 122)(1ˆσ。

因此2221σσ和的极大似然估计值为625.716161)(161ˆ161122221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑==i n i i i x x x x σ96.316101)(101ˆ101122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==∑∑==i n i i i y y y y σ（3）是21,μμ未知，双总体方差的假设检验。

待检假设22210σσ≤：H ；22211σσ>：H ，是在05.0=α下的单侧检验。

因为4.4)(91,31.8)(151121221221=-==-=∑∑==n i n i i y y S x x S &。

所以F 同机量得值847.14.415.82221===S S F查F 分布表，得01.391505.0=），（F .经比较知，01.3)9,15(847.105.0=<=F F ，故接 受0H ，认为2221σσ不比大。

例2 有三台机器，生产同一种规格的铝合金薄板，测量三台机器所生产的 薄板厚度（单位：厘米），得结果如表所示。

机器1 机器2 机器3试考察机器对薄板厚度有无显著的影响）（05.0=α。

解 检验假设3210μμμ==：H 。

i μ是各台机器生产的薄板总体的均值。

经计算15,5,3321=====n n n n s ，8102.4,8.3,963912.031231512===∑∑∑=⋅==j j j i ijT T x 。

3001245.0151231512&=-=∑∑==T x S j i ij T ， 3001053.0151513122&=-=∑=⋅j j A T T S ,000192.0=-=E T E S S S .因为92.3293.821205.0=<=比），（F F ，故拒绝0H ，认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。

在进行方差分析时，还常要对未知参数进行估计。

下面写出常用的几个估计：①sn S E-=2ˆσ是的无偏估计。

②j j x x ⋅==μμˆ,ˆ分别是j μμ,的无偏估计。

③x x j j -=⋅σˆ是j δ的无偏估计，且∑=0j j n δ。

④两总体),.(2σμj N 与),(2σμK N 的均差值k j μμ-的置信度为α-1的置信区间为))11()((k j E k j n n S s n t x x +--⋅⋅αμ。

例3 求上例中未知参数j j δμσ，，2的点估计及均值差的置信度为的 置信区间。

解 000016.0315000192.0ˆ2=-=-=s n S E σ， 262.0ˆˆ256.0ˆ240.0ˆ332211======⋅⋅⋅x x x μμμ，，， 011.0ˆ253.0ˆ1-=-===⋅x x x δμ，， 又由1788.2315025.0=-）（t ， 3610256.152101611--⨯=⨯⨯=+k j E n n S （， 知0055.01112025.0=+k j E n n S t （）（，故323121μμμμμμ---及，的置信度为的置信区间分别为（μ）=（，）， （μ）=（，）， （μ）=（，）。

例4 某工厂在生产一种产品时使用了三种不同的催化剂和四种不同的原试在05.0=α下检验不同催化剂和原料对压强有无显著影响。

解 设i α为因素A 在水平i A 的效应，j β为因素B 在水平j β的效应。

待检验 假设032101===ααα：H ，0432102====χβββ：H 。

因为43==s r ，，所以67.98436431159402=⨯⨯-=）（T S ，17.2543643163466412=⨯⨯-⨯=）（A S ，34.6936443147732312=⨯⨯-⨯=）（B S ，16.4=--=B A T E S S S S 。

列出方差分析表如下因为35.3376.4)6,3(16.18145.62(05.005.0=<==<=比比，），F F F F ，所以拒绝01H 和02H ，认为催化剂和原料的影响都是显著的。

例5 设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费用（单位：千元）y 如下 所示：求（1）关于x 的回归方程，2σ的无偏估计；（2）检验回归是否显著，并求7=x 时，维修费用y 的预测区间。

解 （1）左散点图（略），数据分布呈直线趋势。

列计算表：并计算下列数据：，）（1020519012112=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni ixx x n x l 3.122520513.1121111=⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===n i i n i i ni i i xy y x n y x l 78.15255178.140122112=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==）（n i i ni i yyy n y l ，解得 23.1103.12ˆ===xx xy l l b， 08.0423.15ˆ1ˆ1=⨯-=-=∑=x b y n ani i 。

所以，线性回归方程为x y23.108.0ˆ+=。

2σ的无偏估计为8837.0)3.11223.178.140(31)ˆ(21ˆ2=⨯-=--=xyyy l b l n σ。

（2）将70=x 代入回归方程得69.8ˆ0=y。

因为35.2)3(,5025.0==t n ，所以0y 的置信度为的置信区间为))(11ˆ)2(ˆ2020xx l x x n n t y-++-±σα（ )893.11,487.5()45.194.035.269.8(=⨯⨯±=。

计算t 统计量187.13908837.023.1ˆˆ===xx l b t σ。

因为187.131824.3)3(025.0=<=t t ，故知回归效果是显著的。

例6（单因素方差分析）下表给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活天数，问三种菌型的平均存活天数有无显著差异表4-3菌 型接种后存活天数∑=91i ixⅠ型（1A ） 2 4 3 2 4 7 7 2 5 36 Ⅱ型（2A ） 5 6 8 5 10 7 12 6 6 65 Ⅲ （3A ） 7 11 6 6 7 9 5 10 6 67计算：222.6,444.7,22.7,4321====X X X X()()8889.66)168(27144894225129691271)(911122453351517667,65,36221232221121232191232191=-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++=++=====⇒=∑∑∑∑∑=====ri i r i i ri iiA j ij i j ij i S S S S S n n S Q SS SS SS x SS S S S x S()6667.1788889.667778.1117778.1112222.1112533515176931231=+=+==-++=-=∑∑==A E T i i i i E Q Q Q S SS Q 列成表格如下，其中，方差来源 平方和自由度均方 F值因素8889.66=A Q误差7778.111=E Q总和6667.178=T Q657.4247778.1114445.3328889.66122==-===-=r n Q S r Q S E E A A1809.76574.44445.33220===E A S S F ，查表()40.324,205.0=F对给定的显著水平05.0=α，查表,40.3)24,2(05.0=F 因40.3)24,2(1809.705.0=>=F F ，故拒绝0H ，即认为这三种不同菌型的伤寒杆菌的平均存活天数有显著差异。

关于未知求2σ， i μ，i δ（i ＝1,2,3）的参数估计2ˆσ＝6574.42==-E E S r n Q 222.2222.6000.4ˆ11-=-=-=X X δ000.1222.6222.7ˆ22=-=-=X X δ 222.1222.6444.7ˆ33=-=-=X X δ i μ的区间估计26.4)24,1(),1(05.005.0==-F r n Fi μ的置信区间为（)),1(2r n F n S X iE i -αμ)),1(2r n F n S iE-α=9/657.4X 26.4=置信区间为的，，%95321μμμ的置信区间为的－均值之差αμμ-1k i （22i 11)(E ki k S n n r n t X X +-αμ－）)(2r n t -α0624.2)24(025.0=t)(2r n t -α211Eki S n n +=100.265.492=⨯⨯ 的置信区间为的－，95%,323,121μμμμμμ--∴（－，－）；（－，－）；（－，）例7.（正交试验）为了制造轴承，寻求新钢种最佳等温淬火工艺。

考察试验指标是径向抗压负荷与硬度，对试验指标有影响的主要因素：加热温度（单位：C 0），等温温度（单位：C 0），淬火返修次数（单位：次），将因素列如下表。

水平列号 A 加热温度 B等温温度 C淬火返修次数 1 2 3900 880 860250 260 2700 1 2因为是3元素3水平，选择正交表)3(49L 合适。

表头设计 A B C列号试验号1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1（900） 2（880） 3（860） 1 2 3 1 2 3 1（250） 1 1 2（260） 2 2 3（270） 3 3 3（2） 1（0） 2（1） 2 3 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3确定试验方案 在上表中，每一个横行就代表了一个试验条件，共有9个试验条件。