第五章 大数定律与中心极限定理
一、 典型题解
例1设随机变量X 的数学期望()(){}2,3E X u D X X u σσ==-≥方差，求P 的大小区间。
解 令3εσ=，则有切比雪夫不等式有：
()()
()22
221
,339D X P X E X P X E X σεσεσ⎡⎤⎡⎤-≥≤
-≥≤=⎣⎦⎣⎦有
例2在n 次独立试验中，设事件A 在第i 次试验中发生的概率为()1,2,....i p i n =
试证明：A 发生的频率稳定于概率的平均值。
证 设X 表示n 次试验中A 发生的次数，引入新的随机变量0i A X A ⎧=⎨⎩1,发生•
，不发生
()12,...i n =，
，则X 服从()01-分布，故 ()()(),1i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=，
又因为
()
()2
2
4140i i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-≥，
所以
()()1
1,2, (4)
i i i D X p q i n =≤
= 由切比雪夫大数定理，对,o ε∀>有()11lim 1n i i n i p X E X n ε→∞
=⎧⎫
-<=⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭
∑ 即 11lim 1n i n i X p p n n ε→∞
=⎧⎫
-<=⎨⎬⎩⎭
∑
例 3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学
生无家长，1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。
若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。
（1）求参加会议的家长数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。
解（1）以()400,,2,1 =k X k 记第k 个学生来参加会议的家长数，则k X 的分布律为
k X 0 1 2 k P 0.05 0.8 0.15
易知()()19.0,1.1==k k X D X E ，1,2,...400.k =而∑==400
1
k k X X .由独立同分布中
心极限定理知，随机变量
19
.04001.140019
.04001
.1400400
1
⨯-=
⨯-∑=X X
k k
近似服从正态分布()0,1N ，于是
{
}()14004001.1
45011.147.00.4000.19
11.1470.1357
P X P P
⎫>=>=-≤
⎬⎭≈-Φ= （2）以Y 记有一名家长来参加会议的学生数，则(400,0.8)Y B ，由德莫佛—拉普拉斯定理得
{
}
()340 2.52.50.9938.
P Y P P ≤=≤⎫=≤⎬
⎭≈Φ=
例4一加法器同时收到20个噪声电压()20,,2,1 =k V k ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布。
记∑==20
1k k V V ，求()105P V >的近
似值。
解 易知()())20,,2,1(12100,5 ===k V D V E k k ，由独立同分布中心极限定理，随机变量
20
1210052020
121005
2020
1
⨯-=
⨯-=
∑=V V
Z k k
近似服从正态分布()0,1N ，于是
()
()20387201001050.38712101220
110.
38710.3870.348
20t P V P P P dt --∞
⎧
⎫⎧
⎫
⎪>=>
=>⎬⎪⎭⎧
⎫⎪
=-≤≈-=-Φ=
⎬⎪⎭
⎰
即有 ()1050.348.P V >≈
例5一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于03的概率为
1
3
p =
，若船舶遭受了90 000次波浪冲击，问其中有29 500～30 500次纵摇角度大于03的概率是多少？
解 我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的。
在90 000次波浪冲击中纵摇角度大于03的次数记为X ，则X 是一个随机变量，且有
1(90000,)3
X B 。
其分布律为{}9000090000
12,0,1,,90000.33k k
k P X k C
k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所求的概率为
{}9000030500
9000029500
122950030500.33k
k
k
k P X C -=⎛⎫⎛⎫≤≤= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭∑
要直接计算是麻烦的，我们利用德莫佛—拉普拉斯定理来求它的近似值。
即有
{}
2
22950030500.t P X P dt -⎧⎫≤≤=≤≤⎛⎫⎛⎫
≈=Φ-Φ
其中
190000,3n p ==。
即有
{}()()
295003050020.9995P X ≤≤≈Φ-Φ-=.
例6 设在某中重复独立试验中，每次试验事件A 发生的概率为1
4
，问能以0.9997的概率保证在1000次试验中A 发生的频率与1
4
相差多少？此时A 发生的次数在哪个范围之内？
解 设A n 为n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，p 是在各次试验中事件A 发生的概率。
则(),A n B n p ，当n 很大时，由德莫佛—拉普拉斯定理，有A n 近似服从()(),1,N np np p -从而
{}A A n p p p np n n np n n βεεε⎧⎫
=-≤=-≤≤+⎨
⎬⎩⎭
p ⎧⎫=≤≤
21⎛⎫⎛⎫⎛≈Φ-Φ=Φ- ⎝
从而由题设 1
1000,,0.99974n p β===，
而 要求0.9997.A n p p n εε⎧⎫
-≤=⎨⎬⎩⎭
中的
由于210.9997A n p p n ε⎛⎧⎫-≤=Φ-= ⎨⎬ ⎩⎭⎝，故
0.9999⎛
Φ= ⎝查表得
3.62, 3.62 3.620.0496ε====故。
四、练习题配置
1.设随机变量X 的数学期望()10E X =，方差()0.04D X =，利用切比雪夫不等式估计{}9.211P X <<的大小。
2.设电路共电网中内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关彼此独立，计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。
3. 生产灯泡12,,,,n X X X L L 的合格率为0.6，求10 000个灯泡中合格灯泡数在5 800～6 200的概率。
4. 某心里学家要研究一群孩子智商的平均值m ，他用1
1n
i i X X n ==∑作为m 的估
计，用12,,,n X X X L 分别表示对这n 个孩子智商测试的结果。
若(),i E X m =()263.66i D X =，1,2,,i n =L 为使X 对m 的估计误差不超过5的概率不低于0.95，问他至少要测试多少个孩子？
5. 设有30个电子器件，它们的使用寿命1230,,T T T L 服从参数为0.1λ=[单位：(小时)1-]的指数分布。
其使用规则是第一个损坏时立即使用第二个，第二个损坏时立即使用第三个等等。
令T 为30个器件使用的总时间，求T 超过350小时的概率。
6. 设某车间有400台同类型的机器，每台机器开动时需要15单位的电能，根据产品的需求，每台机器开动时间是总时间的3/4。
假定各机器的开动是相互独立的。
问至少供应多少单位的电能才能以不低于99.9%的把握保证不致因供电不足而影响生产。
7. 一复杂的系统由n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有85%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n 至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？
8.某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差2400=s 为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t =0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命12,,,,n X X X 以 作为μ的估计，为使 问n 至少为多少？。