Ke[B]T[D][B]tA
可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元 刚度矩阵。
3-3 常应变三角形单元的刚度矩阵
• 单元刚度矩阵 K e 可记为分块 矩阵形式
Kii
Ke Kji
• 将应变矩阵[B]的分块阵代入单
Kmi
元刚度矩阵，可得其子块计算式：
Kij Kjj Kmj
Kim
大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或
坐标轴的平行移动而改变。
3-3 单元刚度矩阵
F e [ B ] T [ D ] [ B ] t d x d y δ e
由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的
元素也是常量，且 dxdy A
因此
Fe[B]T[D][B]tAδ e
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
六个节点位移只能确定六个多项式 三结点三角形单元 的系数，所以平面问题的3节点三角
形单元的位移函数如下，
u v
1 4
2x 5x
36yy
该位移函数，将单元内部任一点的
位移设定为坐标的线性函数，该位
移模式很简单。其中 1 ~ 6 为广义 坐标或待定系数，可据节点i、j、m
Kjm
Kmm
• 对于常应变三角形单K 元rs ， 考虑V平B rTD B sd x d y d zr,s i,j,m 面应力问题弹性矩阵[D]，可得
Krs
1 2A
br
0
0 cr
cr br
D
bs
0
cs
Et
4(1 2
)
A
brbs
1
2
cr cs
bscr
1
2
csbr
0
cs
u12x3(AxB) v4 5x6(AxB)
• 显然，u,v仍为线性函数，即公共边界上 位移连续协调。
• 综上所述，常应变三角形单元的位移函 数满足解的收敛性条件，称此单元为协 调单元
边界不协调产生重迭
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。
ai xjymxmyj 0 bi yj yma
令
Ke[B] T [D][B]tdxdy
实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为
则
Ke[B]T[D][B]dxdydz
FVe Keδe
建立了单元的节点力与节点位移之间的关系， K e 称为
单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐
标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、
0 Nj
Nm 0
0 Nm
uvjj
简写为
Ne INi
INj
INmij
ui
m
um
vm
e
i j
m
vi
u v
j j
u
m
v m
[I]是单位矩阵，
[N]称为形函数矩阵，
Ni只与单元节点坐标有关，称为 单元的形状函数
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
σx
εx* εy* γxy* σytdxdy ε *Tσ tdxd τxy
整个弹性体的内力虚功为
U d U ε * T σ t d x d y
3-3 单元刚度矩阵
根据虚功原理，得
* e TF e * Ttd x d y
这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之 间的平衡方程。
N j 2 1 A (a j b jx cjy)a 1 2(0 0 a y)a y
N m 2 1 A (a m b m x c m y ) a 1 2(a 2 a x a y ) 1 a x a y
x [N]a
0
y a
0 1xy aa
0
0
x a
0
y a
0 1axay
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
虚应变可以由节点虚位移求出：
ε *T(Bδ *e)Tδ *eT[B]T
代入虚功方程
*e TF e *e T [ B ] T td x d y
Fe[B]Tσ tdxdy
3-3 单元刚度矩阵
接上式，将应力用节点位移表示出 σDBδe
有
F e [ B ] T [ D ] [ B ] t d x d y δ e
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
• (3)位移函数在单元内部必须连续位移。 因为线性函数，内部连续
• (4)位移函数必须保证相邻单元在公共边 界处的位移协调（即在公共边界上位移 值相同）。如右图
• 设公共边界直线方程为y=Ax+B，代入 位移函数可得：边界上位移为
y=Ax+B
边界不协调产生裂缝
• 4、应力、应变矩阵
• 将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵：
ui
xxyyuyuvyxvx0xy
0
yN 0i
x
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
vi
N0muvjj
um
vm
ui
21Abc0ii
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0vi
bcm muuvm jj [Bi]
(1) 位移函数必须含单元常量应变。前已说明
(2) 单元必须能反映单元的刚体位移（即单元应变为0时的位移）。前面位
移函数改写为（注意：2,6,35为0 ）
u 1
5
3
2
y2x3
5
2
y
(3)
则u单元刚1 体位5 2移v为3 y 4
v
4
5
2
3
x
5 3
2
记为
x6y3
5
2
x
u v
1 4
00 yx
显然，位移函数包含 了单元的刚体位移 （平动和转动）
21Aabciii
aj bj cj
abmm
vvij
cm vm
其中
1 xi yi 2A 1 xj yj
1 xm ym
ai xi ym xmyj
bi yj ym
i,j,m轮换
ci xm xj
为2A第1行各个元素的 代数余子式，
u 2 1 A [ ( a i b ix c iy ) u i ( a j b jx c jy ) u j ( a m b m x c m y ) u m ]
该单元上的应力和应变为常值。由此可见，在相邻单元的边界 处，应变及应力不连续，有突变。
3-3 单元刚度矩阵
讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节 点位移表示节点力的表达式。
由应力推算节点力，需要利用平衡方程。第一章中已经 用虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等 于应力在虚应变上作的虚应变功。
δ * T F ε * T σ d x d y d z ( 1 - 1 7 )
Fy j
j
F xj
Fyj*
j
Fxj*
F ym m
y t
ห้องสมุดไป่ตู้
xy
F yi
x
F xi
i
F xm
(a)结点力、内部应力
Fym* m
x* y* xy*
F
* xm
(b)虚位移、虚应变
Fyi*
F
* xi
i
3-3 单元刚度矩阵
2、形函数的特点及性质 1)形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。 2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。 即
Ni(xi,yi)1 Ni(xj,yj)0 Ni(xm,ym)0 类 似 Nj(xi,yi)0 Nj(xj,yj)1 Nj(xm,ym)0
Nm(xi,yi)0 Nm(xj,yj)0 Nm(xm,ym)1
dy
* xy
dx
3-3 单元刚度矩阵
微小矩形的内力虚功为
d U ( σ x t d y ) ( ε x * d x ) ( σ y t d x ) ( ε y * d y ) ( τ x y t d x ) ( γ x y * d y ) (ε x*σ x ε y*σ y γ x* y τ xy )tdxdy
3-3 单元刚度矩阵
计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx 和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。
(a)实际应力
xtdy
dy
dx
(b)虚设应变
ytdx
xtdy
dy
dx
ytdx
y*dy
txytdx
txytdy dy
dx
txytdx
* xy
txytdy
dy
dx
x*dx
dy dx
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
1、位移函数
如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程 求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体， 内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。
有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成 若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化 情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一 个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位 移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。
对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示， u a 1 a 2 x a 3 y a 4 x 2 a 5 x y a 6 y 2 ...
v b 1 b 2 x b 3 y b 4 x 2 b 5 x y b 6 y 2 ...
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精 确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。