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令
LZ1 f1(X1, X2,L , Xk ) Z2 f2(X1, X2,L , Xk )
Z p f p (X1, X2,L , Xk )
则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模 型
Y 0 1Z1 2Z2 L pZ p u
令 Yi ln GDPi , X1i ln Ki , X 2i ln Li
0 ln A, 1 , 2
则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回 归模型
对上式两边取对数得到：
ln Yi ln A 1 ln X1i 2 ln X 2i L k ln X ki ui
令
Yi*
ln Y , 0

ln
A,
X
* 1i

ln
X1i
,
X
* 2i
ln X 2i ,L
,
X
* ki
ln X ki
则可将原模型化为标准的线性回归模型：
ln Yi ln A bXi ui
令Yi* ln Yi , ln A
则可将原模型化为标准的线性回归模型；
Yi* bX i ui
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（2）幂函数模型
幂函数模型的一般形式为：
Yi

AX
1 1i
X
2 2i
L
X e k ui ki
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4.2线性化方法
1非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法
非标准线性回归模型的一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 ,L , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 ,L , X k )
L p fp (X1, X2,L , Xk )
参数。试利用天津市1980年~1996年的有关统
计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型
。
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首先建立天津市的C-D生产函数模型
GDPi AKi Li eui i=1，2……，17
两边取对数得到：
ln GDPi ln A ln Ki ln Li ui
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2 双曲函数模型
双曲函数模型的一般形式为：
1 Yi


1 Xi
ui
令
Yi*

1 Yi
,
X
* i

1 Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi*



X
* i
ui
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3 对数函数模型 对数函数模型的一般形式为：
其中 f1,L , f p 是关于 X1, X 2 ,L , X k 的p个已知的非 线性函数，0, 1,L , p 是（p+1）个未知参数
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2 虽然被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k和未 知参数 0, 1,L , p 之间不存在线性关系，但是可 以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型
在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们 通过一些例子来讨论这个问题。
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线性模型的含义 线性模型的基本形式是:
Y 0 1 X1 2 X 2 ......
其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相 乘的形式。
线性模型的线性包含两重含义： （1）变量的线性
变量以其原型出现在模型之中，而不是以 X 2或
X 之类的函数形式出现在模型中。
2
（2）参数的线性 因变量Y是各参数的线性函数。
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非线性回归模型的分类： 1 虽然被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k之间
Yi ln Xi ui
令
X
* i

ln
Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi



X
* i
ui
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4 S-型曲线模型 S-性曲线模型的一般形式为：
1
Yi e Xi ui
首先对上式做倒数变换得：
1 Yi

eXi
，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非
线性回归模型
3 如果被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k 和未 知参数 0, 1,L , p 之间都不存在线性关系，而且 也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归 模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性 化的非线性回归模型
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下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非标准线 性回归模型
1多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为：
Yi

0

1 X i

2
X
2 i
L

k
X
k i

ui
令
Z1i

Xi , Z2i

X
2 i
,L
, Zki

X
k i
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Y 0 1Z1i 2Z2i L k Zki ui
Yi*

0

1
X
* 1i


2
X
* 2i
L

k
X
* ki

ui
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例：对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型
Yi

AK

i
Li
eui
i 1, 2,L , n
其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳
动投入量，u是随机误差项，A、 和 为未知
ui
令
Yi*

1 Yi
,
X
* i

e Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi*



X
* i

ui
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中山学院经的线性化方法 下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的
非线性回归模型 （1）指数函数模型 指数函数模型的一般形式为
Yi AebXi ui 对上式两边取对数得到
不存在线性关系，但与未知参数 0, 1,L , p 之间 存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被 称为非标准线性回归模型。
其一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 ,L , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 ,L , X k )
L p fp (X1, X2,L , Xk )