2、任意两点组成一条棱边，棱的中点即其 重心，成为两顶点重心 ④，⑤，⑥
3、任意三个顶点组成一个正三角形，该 三角形的中心即其重心，称为重心 ⑦
四、单形重心设计
1、定义：实验安排在重心的混料设计 称为单形重心混料设计，或简称单形 重心设计。
2、回归模型
一个混料试验可由因素个数 P 与回归 方程最高次项次数 d 所确定。用有序 数对（P，d）表示一个混料试验。
个组成成分是，石蜡环烷（x1）, 二芳香烃 （x2）, 二烯烃（x3）,并且满足x1+x2+x3=1
x1 x2 x3 1
0 xj 1
在单形坐标系下，直角坐标下的二维单纯 形变成三维单形，三角形内的点 P(x1, x2, x3) 就表示三个变量混料的具体比例，也就是 说，混料的变化区域是该三角形。
三、单形重心
1、单个顶点重心就是顶点本身 ①，②，③
①（1，0，0），②（0，1，0），③（0，0，1）
c1p
c
2 p
c3p
...
c
d p
试验次数和回归方程中待估计系数相等
2）坐标与d无关
所有试验的坐标与回归方程的次数 d 无关，且试验点的非零坐标相等，消 除由于非零坐标不相等，对回归系数 估计值的影响。
①（1，0，0），②（0，1，0），③（0，0，1）
为研究能否在试验室中对燃料抗震性能使用的 一种 RM 评分法，来替代燃料的道路行驶性能 评分法。拟设计一组试验，系统地变动燃料特 性，来检验这两种评分法差异的假设是否成立。 试验指标为两种评分法之差，所研究燃料的三
（3，1）
yˆ b1x1 b2 x2 b3 x3
三个系数，做①②③三点试验
（3，2）
yˆ b1x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1x2 b13 x1x3 b23 x2 x3
六个系数，做①②③④⑤⑥试验
（3，3）
yˆ b1x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1x2 b13 x1x3 b23 x2 x3 b123x1x2 x3
七个系数，做①②③④⑤⑥⑦试验
3、单形重心的设计特点
1）饱和设计
对于（P，d）混料设计回归方程为
p
d
yˆ bj x j bhj xh x j bhj xh x j xl ..... bp! x j
j 1
h j
h jl
j 1
待估计的系数共有：
c1p
c
2 p
c3p
...
c
d p
P维单形顶点数共有：
z j 0, ( j 1,2,......p)
z1 z2 ....... z p 1
Z1，Z2，Z3…. Zj….Zp，表示混料中 P 种成分各占 的百分比。
§2 混料回归设计
一、混料回归设计：就是合理选择少数试验点， 安排混料试验，求取非线性的回归方程。
二、回归模型
p
p
p
yˆ b0
➢正三角形，正四面体形，p 维单形即（p-1）维单纯形。
单形
单纯形
相同点 多维空间的凸图形 多维空间的凸图形
①顶点数与坐标维 ①顶点数仅比空间
数相等
维数多一
不同点
ns p
②单形坐标系
ns p 1
②欧氏几何空间
二、单形坐标系
A
1、假设
P
B为单形内的任意点，单形内 任意点 P 到各边的距离分别为 (X1，X2，X3)， X1 表示 P 点到边 BC 的距离， X2 为点 P 到边 AC 的距离，X3 为点 P 到边 AB 的距离。 2）A，B，C到对边的距离为1。
第八章 混料回归设计
§1 混料试验
一、混料
定义：是指若干种不同成分的混合或合成。
例：1°材料：由铁、镍、铜和铬四种元素组成的不锈 钢，由镁，硝酸钠、硝酸锶和固定剂组成的闪光剂；
2°食品工业：吃喝； 3°建筑材料：水泥，混凝土，粘接剂；
4°能源：由不同成分组成的固态、液态和气态的燃料；
5°工厂中不同品种，不同合格率的产品总体，不同 型号，不同完好率的设备总体； 6°资金、人员、材料、设备的分配问题。
bjzj
bhj zh z j
b
jj
z
2 j
j 1
jh
j 1
p
zj 1
j 1
p
yˆ
bj xj
bhj xh x j
j 1
h j
p
p
p
yˆ a0
ajzj
ahj zh z j
a
jj
z
2 j
j 1
jh
j 1
特点：
p
yˆ bj x j bhj xhx j
j 1
h j
1、比平常减少了 P+1 个回归系数，无常数项与
•单形上的点，若其p个坐标中有一个坐标 xi 1 ， 而其余的 p-1 个坐标为 0，则这种点称为单形的 顶点。
•三个因素混料单形是等边三角形，其三个顶点 分别为A(l, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)。
2、对应关系
1）单形上各点满足混料条件， 2）所有满足混料条件的点都在单形上。
二次项 p
b0
b
jj
x
2 j
，若求取该方程，至少可少做
j 1
P+1 次试验。
2、bj a0 a j a jj 一次项是一次项、常数项与二次 项的组合；bhj ahj ahh a jj 交互项是交互项与二次 项组合。
三、常用设计方法 1、基本方法：各因素仅受混料条件
限制 z j 1
✓例如：为考察铁、镍、铜和铬在不锈钢中的含量变化，对不锈 钢抗拉强度的影响而进行的试验，就是混料试验。
三、混料条件
1、在混料试验中，每个混料成分的含量都必须 表示成混料的百分比，且是无量纲的，并且试验 指标仅与各个分量的百分比有关，而且与混料的 总量无关。
2、每种成分含量的百分比为非负数，且它们的 总和应等于 1 。
1、特点
1°组成混料的各种成分，称为混料成分或分量， 也就是混料试验中的试验因素。在混料回归设计 中，混料中的成分应至少有三种。
2°不变组分，不算。
✓如不锈钢中的元素碳，但应作为混料试验的条件因素。
二、混料试验 ➢ 对混料性能进行的研究――广义试验 ➢ 通过实物试验或非实物试验，考察混料的某种 特性或综合性能与各种混料成分之间的关系。
2、单形格式设计：最早指出的方法，不同 次数，格式不一样，但点数太多一般不用
3、有下界约束条件 0 a j z j 1
4、有上下界约束条件
j a j z j bj 1 极端顶点设计
正交（比率设计）
5、追求优良设计 混料D最优
混料旋转设计
§3 单形重心设计
一、单形：顶点数与坐标空间维数相等的凸图形