单通道 Title in 多阶段 here
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排队系统的四种变形-1
单通道，单阶段
排队
服务台
单通道、单阶段排队系统
单通道 多阶段 排队 服务台 服务台
单通道、多阶段排队系统 27
排队系统的四种变形-2
多通道 单阶段
多通道、单阶段排队系统
多通道 多阶段
多通道、多阶段排队系统
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4 排队模型 4.1 排队问题的一般表达方式
1 排队论的基本问题 1.1 排队论的主要研究内容
数量指标
研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分 布及其数字特征，了解系统的基本运行特征。
统计推断
检验系统是否达到平稳状态；检验顾客达到间隔 的独立性；确定服务时间分布及参数。
系统优化
系统的最优设计和最优运营问题。
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1.2 排队论的经济含义
c 1 n c 1
r p0 n!
Pn
n
(0 n c) (n c)
1 r n p0 c n c gc !
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例1
一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从 负指数分布，平均到达 2 艘/小时；服务台 是1台吊车，卸货时间服从负指数分布， 平均每 20 分钟可卸一艘货船，当被占用 时，新到货船只能停在码头等待。求在平 稳状态下码头上货船的平均数；等待卸货 船只的平均数；每艘货船在码头的平均停 留时间；货船平均需等待多长时间可以开 始卸货。
排队规则的3种类型
等待制
混合制
排队规则
损失制
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等待制的四种类型
等待制
先到先服务 FCFS
后到先服务 LCFS
随机服务 RS
最短处理时间 SPT
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3.4 服务员数量
排队系统中的常见变形
Title in 多通道 here 单阶段
Title in 多通道 here 多阶段
排队系统
Title in 单通道 here 单阶段
0
1 2 3
10
28 29 16
4
5 ≥6
10
6 1
合计
100
解：
这也是一个M/M/1排队问题 （1）计算平均到达率
nf
100
n
2.1(人 / 时)
平均手术时间
tf T
t
平均服务率
1 u 2.5(人/时) 0.4
41
100
0.4(时/人)
（2）取=2.1，=2.5，通过统计检验方法认为 病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手 术时间服从参数为2.5的指数分布。
3
引导案例-2 医院排队系统
4
形形色色的排队系统
达到的顾客 出故障的机器 修理技工 病人 电话呼叫 进港货船 入水库河水 达到机场上空的飞机 刑事案件 达到路口的车辆 来犯敌机 要求服务的内容 修理 领取修配零件 诊断（或治疗） 通话 装（卸）货 放水、调整水位 降落 侦破 通过路口 截击 服务的机构 修理技工 发放修配零件的管理员 医生（或治疗设备） 交换台 装（卸）货码头（泊位） 水闸、管理员 跑道 刑侦部门 交通信号灯 我防空部队
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3.2.2 指数分布
当顾客以完全随机的方式到达服务实 施时，相邻到达间隔时间服从指数分 布，但平均到达率不变； 随机服务时间服从指数分布，但平均 服务率不变；
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（负）指数分布的形式
相对频率 ％
指数分布 （时间）
0
时间 图 负指数分布 20
（负）指数分布的概率密度函数
f(t) λe λt
一般形式： X / Y / C
X —顾客相继达到时间间隔的概率分布； Y —服务时间的概率分布； C—服务台的个数；
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4.2 一些特殊排队模型
指数分布
模型 分布 1 2 3 4 服务 到达 排队 顾客源 阶段 分布 规则 服务时 队列 间分布 长度 指数 常数 指数 指数 无限 典型例子 模型表 示
4.4 模型参数计算-1（ M/M/1）
系统利用率
正在接受服务的顾客平均数

系统中的平均顾客数
系统中等待的平均顾客数
Lq Ls Wq Ls r
Ls Ws u
r

顾客平均逗留时间
顾客平均等待时间
1 Wq Ws u
n
1 Ls Ws u
排队问题的核心问题实际上就是对不 同因素做权衡决策。管理者必须衡量 为提供更快捷的服务（如更多的车道、 额外的降落跑道、更多的收银台）而 增加的成本和相应的等待造成的费用 之间的关系。
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服务成本与等待成本的权衡（成本－效益平衡）
总成本
最小值 服务成本 成本
等待成本
最佳能力
排队分析的目的是使顾客等待成本与服务能力成本 这两项成本之和最小
图 泊松分布
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泊松分布的概率密度函数
(T ) n e T PT (n) n! T：单位时间段；:到达率 n：单位时间段内到达的人数
如果一个系统的平均到达率是每分钟有3个顾 客到达（ =3），求1分钟内有5个人到达的 概率 (n 5, T 1)
(3 1)5 e31 35 e3 P (5) 2.025e3 0.101 1 5! 120
排队论
教学目的：了解排队论的经济含义； 排队系统的一般概念和简单的排队系 统；了解排队问题的计算机仿真。
1
学习内容
大纲内容 基本概念 知识要点 排队系统 泊松分布、负指数分布
排队系统
排队模型的运用 排队问题的仿真
排队系统的一般指标
M/M/1、M/M/C Excel 仿真
2
引导案例-1 银行排队系统
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例2
某医院手术室根据病人就诊和完成手 术时间的记录，任意抽查100个工作 小时，每小时来就诊的病人数n的出 现次数如表6所示。又任意抽查了100 个完成手术的病例，所用时间t出现 的次数如下表所示。试分别用公式、 excel和仿真求解：
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到达病人数
到达病人数 n 出现次数 fn
手术时间
为病人完成手术 时间t/小时 0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6 ~1.8 0.8~1.0 1.0~1.2 >1.2 合计 出现次数 ft 38 25 17 9 6 5 0 100 40
系统利用率 正在接受服务的顾客平均数 系统中等待的平均顾客数 系统中的平均顾客数 顾客平均逗留时间 顾客平均等待时间
，C 1 C
r
Lq
2
2u (u )
Ls Lq r Ls Ws
Wq
Lq

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常数服务时间能将系统的平均顾客数砍掉一半
4.4 模型参数计算-3（ M/M/C）-1
：单位时间段内到达的顾客数量
t：时间间隔
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表 下一个到达的顾客的时间间隔的概率
（1） t（分钟）
（2） 分钟内到达的概率
（3） 分钟内到达的概率 0 0.39
下一个顾客在大于等于t 下一个顾客在小于等于t
0 0.5
1.00 0.61
1.0
1.5 2.0
0.37
0.22 0.14
0.63
0.78 0.86
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2 排队论概述 2.1 基本概念
概念
在队列中，等待服务的顾客（customer）和服务台 （server）就构成了一个排队系统（queuing system）。
本质
研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率问题。
总体目标
以最少的服务台满足最多的客户需求。
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2.2 排队系统的一般形式
排队可以是有形的队列，也可以是无 形的队列。排队可以是人，也可以是 物。
服务系统 顾客源 排队结构 排队规则 服务规则
顾客到来
服 务 机 构
顾客离去
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3 排队问题的特征
总体来源 到达与服务模式 排队纪律（服务顺序）
服务员数量（通道）
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3.1 总体来源
分析排队问题所用方法取决于潜在顾 客数量是否有限。
潜在顾客数量
本章讨论的重点 无限顾客源
例如：排队等候 公共汽车的乘客 人数 14
备注：设＝ 1
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3.2.3 泊松分布和指数分布的关系
泊松分布与指数分布可以互相推导得 到。泊松分布的期望值和方差相等， 都为 ；指数分布期望值为1/ ,方差 为1/ 2 。 相邻顾客到达时间间隔服从指数分布， 单位时间段内到达的顾客数服从泊松 分布。
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3.3 排队纪律/排队规则/服务顺序
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解：
这是一个典型的M/M/1排队问题
2
60 u 3 20
r 2 1 3
2 Ls 2(艘) u 3 2
2 4 Lq Ls r 2 (艘) 3 3
Ws
Ls


2 1(小时) 2
4 Lq 3 2 Wq (小时) 2 3
则称 ｛N（t），t ≥0 ｝为Poisson 过程，其对 应的分布为泊松分布（ Poisson 分布）。
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泊松分布的形式
相对 频度
0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00
泊松分布 （比率）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 每单位时间顾客数
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为什么会出现排队现象？
顾客
������
������
顾客排队 服务设施
顾客离开
假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每位顾客的平 均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间隔时间正好是15分钟， 而服务人员为每位顾客的服务时间也正好是15分钟，那么，就 只需要一名服务人员，顾客也根本用不着等待。 在以下情况将出现排队现象： ������ ������ 平均到达率高于平均服务率 顾客到达的间隔时间不一样（随机）