2020高考数学模拟试题
（理科）
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算：32
lim
21
n n n →∞-=+
2. 在△ABC 中，若60A =︒，2AB =，AC =，则△ABC 的面积是
3. 圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于
4. 设3
(,sin )2
a α=r ，1(cos ,)3
b α=r ，且a r ∥b r ，则cos2α=
5. 在252
()x x
-二项展开式中，x 的一次项系数为 （用数字作答）
6. 若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选 法种数为
7. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为 8. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为1()f x -=
9. 设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，||6ON =uuu r ，ON =uuu r r
，
过点M 作1MM y ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设
11OT M M N N =+uu u r uuuu u r uuuu r
，则点T 的轨迹方程是
10. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为 属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精
含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0rx
p p e =⋅（r 为常数），若某人饮酒后血液中的
酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则 此人饮酒后需经过 小时方可驾车（精确到小时）
11. 给出下列一组函数：212()log (23)f x x x =++，22()ln(258)f x x x =++，
23()lg(3813)f x x x =++，240.3()log (7.46551713.931034)f x x x =++，⋅⋅⋅，请你
通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式
2log ()a y Ax Bx C =++（0a >，1a ≠）：
12. 已知直线1y x =+上有两个点11(,)A a b 、22(,)B a b ，已知1a 、1b 、2a 、2b 满足
1212|a a bb +=，若12a a >，||2AB =，则这样的点A 有
个
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知点(,)P a b ，曲线1C 的方程21y x =-，曲线2C 的方程221x y +=，则“点
(,)P a b 在曲线1C 上“是”点(,)P a b 在曲线2C 上“的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件 14. 一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 4个
D. 无穷多个 15. 复数z 满足|3i |2z -=（i 为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是（ ） A. [3,7] B. [0,5] C. [0,9] D. 以上都不对
16. 由9个互不相等的正数组成的矩阵11121321
222331
32
33a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
中，每行中的三个数成等差数列， 且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有（ ） ① 第2列中的12a 、22a 、32a 必成等比数列；② 第1列中的11a 、21a 、31a 不一定成等比 数列；③ 12322123a a a a +>+；
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 0个
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，14AA =，点M 是棱11C D 上 的动点.
（1）求三棱锥11D A B M -的体积；
（2）当点M 是棱11C D 上的中点时，求直线AB 与 平面1DA M 所成的角（结果用反三角函数值表示）.
18. 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：
（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市 时间x 的变化关系并说明理由：① y ax b =+；② 2y ax bx c =++；③ log b y a x =⋅； ④ x y k a =⋅；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
19. 平面内任意一点P 到两定点1(F 、2F 的距离之和为4. （1）若点P 是第二象限内的一点且满足120PF PF ⋅=uuu r uuu r
，求点P 的坐标；
（2）设平面内有关于原点对称的两定点1M 、2M ，判别12PM PM ⋅uuuu r uuuu r
是否有最大值和最小值，
请说明理由？
20. 函数()sin(tan )f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性；
（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π； （3）(1.50,1.57)ω∈，当函数()f x 的图像与11
()()2g x x x
=+的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.
21. 有限个元素组成的集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，*n ∈N ，集合A 中的元素个数记为()d A ， 定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当
()(()1)
()2
d A d A d A A ⋅++=
时，称集合A 具有性质Γ.
（1）设集合{1,,}M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列， 请说明理由；
（2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+，其中11
3
d =
，数列{}n d 中的前 2020项：1232020,,,,d d d d ⋅⋅⋅组成的集合1232020{,,,,}d d d d ⋅⋅⋅记作D ，将集合D D +中的所有元素123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅（*k ∈N ）从小到大排序，即123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅满足123k t t t t <<<⋅⋅⋅<，求2020t ； （3）已知集合12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由.
参考答案
一. 填空题
1.
3
2
2. 3
3.
4. 0
5. 80-
6. 180
7. 22
19y x -=± 8. 2log (1)x - 9. 22536x y +=(0x ≠且x ≠
10. 8 11. 23log (4710)y x x =++（答案不唯一） 12. 3
二. 选择题
13. A 14. D 15. A 16. C
三. 解答题
17.（1）1164433V =
⨯⨯=；（2）. 18.（1）②；（2）21
(20)264
y x =
-+，上市20天，最低价26元.
19.（1）(；（2）222212()PM PM x y m n ⋅=+-+uuuu r uuuu r ，最大值224()m n -+，
最小值221()m n -+.
20.（1）奇函数；（2）略；（3）sin(tan )1tan 2(tan1.50,tan1.57)2
k π
ωωπ=⇒=
+∈，
∴1.99199.6k <<，∴2,3,4,,199k =⋅⋅⋅，∴ω的个数为198个.
21.（1）否；（2）123
n n d -=，(1)22k k k t +=，∴6320162t =，63
202028t =+；
（3）具有性质Γ.。