[规律总结] 化简三角函数式常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函 数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式， 然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或 构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
＝1＋sinα1＋cosα(cosα＋1－sinα－sinα－1＋cosα)
＝12＋cosisnαα－＋scinoαsα ＝右边．所以原式成立．
证法三：因为1＋cossiαnα＝1－cossiαnα＝c1o＋sαs＋inα1＋－csoinsαα， 1＋sicnoαsα＝1－sicnoαsα＝s1i＋nαs＋inα1－＋ccoossαα， 所以1＋cossiαnα－1＋sicnoαsα＝c1o＋sαs＋inα1＋－csoinsαα－s1i＋nαs＋inα1－＋ccoossαα ＝12＋cosisnαα－＋scinoαsα .
三角函数式的化简
化简：(1) 1－2sin40°cos40°； (2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β； (3)stainn22αα－－ctaon1s22αα＋co1s2α－sin12α.
[ 思 路 分 析 ] (1) 是 对 平 方 关 系 的 变 形 应 用 ， 由 于 1 ＝ sin240° ＋ cos240° ， 则 1 － 2sin40°cos40° ＝ (sin40° － cos40°)2，要去掉根号，应注意符号，cos40°>sin40°.
[规范解答] (1)分子、分母同时除以cosα(cosα≠0)得，
2sinα－cosα 2sisninαα＋－2ccoossαα＝sinαc＋os2αcosα＝2ttaannαα＋－21＝34，故选B．
cosα
(2)将分母看作1＝sin2θ＋cos2θ，
原式＝sin2θ＋sisnin2θθ＋cocsoθs－2θ2cos2θ
同法可判断选项 D 也不成立．若选项 C 成立，则存在 α＝ π6＋2kπ，k∈Z 满足，故选项 C 成立．
3．已知 tanα＝－12，则si2ns2iαn－αccoossα2α的值是(
)
A．43
B．3
C．－43
D．－3
[答案] [解析]
A 原式＝ta2nt2aαn－α 1＝2－×12－2－121＝43.
[规律总结] 解答此类题目的关键在于充分借助已知角的 三角函数值，缩小角的范围．在解答过程中如果角α所在象限 已知，则另两个三角函数值唯一；若角α所在象限不确定，则 应分类讨论．需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出， 应就α所在象限讨论．
若sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值． [解析] 由已知可得ssiinnα2α＋＋3ccooss2αα＝＝01，，
π 2
＋kπ，k∈Z)，该式子
sinα
可变形为①sinα＝t_a_n_α_c_o_sα__；②cosα＝___t_an_α___.
1．已知α是第四象限角，cosα＝1123，则sinα等于( )
A．153
B．－153
C．152 [答案] B
D．－152
[解析] ∵α是第四象限角，
∴sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－11232＝－153.
化简： 1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα2(0<α<π2)． [分析] 要灵活使用“1”，同时注意开方时符号的选取．
[解析] 原式＝ cosα2－sinα22＋ cosα2＋sinα22 ＝|cosα2－sinα2|＋|cosα2＋sinα2|， ∵α∈(0，π2)，∴α2∈(0，π4)． ∴cosα2－sinα2>0，sinα2＋cosα2>0. ∴上式＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2＝2cosα2.
三角恒等式的证明 证明：1＋cossiαnα－1＋sicnoαsα＝12＋cosisnαα－＋scinoαsα . [思路分析] 本题有多种证明方法，其共同点是“盯住目 标，逐渐转化．”
[证明] 证法一：左边＝cosα1＋＋csoisn2αα－1s＋incαo－sαsin2α ＝c1o＋sαs－insαi＋nαco1s＋α＋sisniαn＋αccoossαα ＝1＋sin22α＋cocsoαs－2αs＋in2αsin1α＋＋si2ncαo＋sαc＋os2αsinαcosα ＝2cosα－ 1＋sinsαinα1＋＋csoisnαα＋2 cosα＝12＋cosisnαα－＋scinoαsα ＝右边． 所以原式成立．
(2)∵cosα＝187>0， ∴α是第一、四象限角． 当α是第一象限角时，sinα＝ 1－cos2α ＝ 1－1872 ＝ 1157，∴tanα＝csoinsαα＝185； 当α是第四象限角时， sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－1872＝－1157， ∴tanα＝csoinsαα＝－185.
课堂典例讲练
利用同角三角函数的关系求值
(1)若sinα＝－
4 5
，且α是第三象限角，求cosα，
tanα的值；
(2)若cosα＝187，求tanα的值．
[思路分析] (1)解答本题可先利用sin2α＋cos2α＝1求出 cos2α的值，然后再利用α在第三象限得cosα＝－ 1－sin2α 求出 cosα的值，最后利用tanα＝csoinsαα解答本题．
＝tan2tθa＋n2θta＋nθ1－2＝4＋4＋2－1 2＝45，故选D．
(3)∵ssiinnθθ－＋ccoossθθ＝ttaannθθ＋－11＝2，∴tanθ＝3. ∴sinθcosθ＝sins2inθ＋θcocsoθs2θ＝tanta2θn＋θ 1＝130. [规律总结] 关于 sinα，cosα 的齐次式的求值问题 关于 sinα，cosα 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sinα，cosα 的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略为： 可用 cosnα(n∈N＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原 式化为关于 tanα 的表达式，再整体代入 tanα＝m 的值，从而完 成求值任务．
证法二：左边＝11＋ ＋ssiinnαα＋ ＋ccoossαα1＋cossiαnα－1＋sicnoαsα
＝1＋sinα1＋cosα·1＋sin1α＋＋scinoαsαcosα －
1＋sinα＋cosαsinα
1＋cosα
＝1＋sinα1＋cosα·cosα＋1＋coss2iαnα－sinα－1＋sinc2oαsα
4．已知 α 是第二象限角，tanα＝12，则 cosα＝________. [答案] －255 [解析] 由co1s2α＝1＋tan2α
得co1s2α＝1＋14＝54.
∴cos2α＝45.
∵α 是第二象限的角，
∴cosα<0，∴cosα＝－2
5
5 .
5．化简 1＋2sin4cos4＝________. [答案] －(sin4＋cos4) [解析] 原式＝ sin24＋2sin4cos4＋cos24 ＝ sin4＋cos42＝|sin4＋cos4| ＝－(sin4＋cos4)(∵sin4<0，cos4<0)．
(2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β ＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β ＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β ＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝cos2β＋sin2β＝1. (3)原式＝cssoinisnαα2α2－－ccosoisn2sααα2＋ssinin2α2α－·ccooss2α2α ＝sin2αcsoisn24αα－sinc2oαs－4αcos2α＋ssinin2α2α－·ccooss2α2α ＝ssinin2α2α＋·ccooss2α2α＋ssinin2α2α－·ccooss2α2α＝sin22sαinco2αs2α＝co2s2α.
[规律总结] 证法一是由左到右，以右式为果，左式通 分 ， 分 子 因 式 分 解 以 产 生 因 子 cosα － sinα. 此 时 ， 分 子 还 缺 少 “2”这个因子，多余1＋sinα＋cosα这个因子，故分子分母同乘 2，并尽量设法使分母产生1＋sinα＋cosα，以便约分．证法二 是因右式分母有因子1＋sinα＋cosα，故将左式分子分母同乘1 ＋ sinα ＋ cosα. 证 法 三 中 证 明 的 关 键 是 使 左 、 右 两 边 变 为 同 分 母，而1＋sinα＋cosα是最简形式，故想到利用等比性质化简为 同分母．
求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2. [证明] 证法一：左边＝1＋1－2sinα＋2cosα－2sinαcosα ＝1＋sin2α＋cos2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα ＝(1－sinα＋cosα)2＝右边． 证 法 二 ： 右 边 ＝ 1 ＋ sin2α ＋ cos2α － 2sinα ＋ 2cosα － 2sinαcosα ＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα) ＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝左边．
已知s3icnoαs＋α－3csoinsαα＝5，则 sin25
B．－25
C．－2
D．2
[答案] A
[解析] 原式化为3ta－nαt＋anα3＝5，解得 tanα＝2.
∴sin2α－sinαcosα＝sins2inα2－α＋sincαo·sc2oαsα＝ta1n＋2α－tant2aαnα＝25.
有tanα＝
sinα cosα
.这里的两个三角函数关系式反映着三角函数关系
的美妙，不过，现在只是对α为锐角成立，若α为任意角还成立
吗？若成立，它们将有哪些重要作用？本节的学习将使你开拓
认知的新天地．
同角三角函数的基本关系式