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1.2.1任意角的三角函数课件(一)


tan y sin 4 x cos 3
定义推广: 设角 是一个任意角, ( x, y ) 是终边上的任意一点, P 点 P 与原点的距离 r x 2 y 2 0
y y 那么① 叫做 的正弦,即 sin r r x 的余弦,即 cos x ② r 叫做 r y y tan x 0 ③ x 叫做 的正弦,即 x
3、已知角的终边在直线y 2x上,求角的sin ,cos , tan 的值.
解: 当角的终边在第一象限时, 1
在角的终边上取点1, 2 ,则r= 12 22 5
sin 2 2 5 1 5 2 , cos , tan 2 5 5 1 5 5
y
﹒Pa, b

MP b tan OM a
o

M
x
诱思
探究
如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y
P
P(a,b)
OMP∽ OM P
MP sin OP
OM cos OP

M

O
M
x
M P OP OM OP
MP tan OM
练习 求下列三角函数值
19 tan 3
3
31 tan( ) 4
1
11 练习:求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解: cos 3
71 sin 6
任意角 的三角函数值仅与 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
巩固

提高
练习 1、已知角

的终边过点
P 12,5 ,

的三个三角函数值.
解:由已知可得:
r x y
2 2
12
2
52 13
y 5 于是,sin r 13 y 5 tan x 12
M P OM
3.锐角三角函数(在单位圆中) 若 OP r 1,则 以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆.
y
P(a, b)

o
1
MP sin OP
x
b
M
OM cos OP
a MP b tan OM a
2.任意角的三角函数定义
设 是一个 )
例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,
角 为第三象限角.
证明: 因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan 0 成立,所以角 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.
其中
kz
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例4 确定下列三角函数值的符号:
解: (1)因为 250 是第三象限角,所以cos250 0 ;
(2)因为 tan( 672) = tan( 48 2 360 ) tan 48, 而 48是第一象限角,所以 tan( 672 ) 0 ; 是第四象限角,所以 sin 0 . (3)因为 4 4

归纳
总结
1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.
作业:
课本第20页 习题1.2 A组 1、2、6、7、第 9题的(1)(3)题.
x 12 cos r 13
2、已知角的终边上一点P 15a,8a a R且a 0,
求角的sin ,cos , tan 的值.
解:由于x -15a, y 8a,
所以r
15a 8a
2
2
17 a a 0
OM 0 3
OM x MP y
O
Px, y
x
OMP ∽ OM0 P0
P0 3,4
于是, sin y y | MP | M 0 P0 4 ; 1 OP OP0 5 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
sin cos (1) 250(2)tan( 672)(3) 4
练习 确定下列三角函数值的符号 4 17 16 sin( ) tan( ) cos

5

3

8
例5 求下列三角函数值:
9 (1) cos 4
11 ) (2) tan( 6
9 2 cos cos( 2 ) cos 解:(1) 4 4 4 2 11 3 tan( ) tan( 2 ) tan tan (2) 6 6 6 6 3
2当角的终边在第三象限时,
在角的终边上取点 1, 2 ,则r
1 2
2
2
5
sin
2 2 5 1 5 2 , cos , tan 2 5 5 1 5 5


1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制)
(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
任意角的三角函数的定义过程:
直角三角形中定义锐角三角函数 sin
b a b , cos , tan r r a
直角坐标系中定义锐角三角函数 sin
b a b , cos , tan r r a
那么:(1)y 叫做
的正弦,记作 sin,即 sin y ; (2)x 叫做 的余弦,记作 cos ,即 cos x ; y y tan ,即 tan ( x 0) (3) 叫做 的正切,记作
x
x
y
﹒ Px, y

O
A1,0 x
所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.
sin 0 tan 0
① ②
如果两个角的终边相同,那么这两个角的
? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
单位圆中定义锐角三角函数
b sin b, cos a, tan a
y sin y, cos x , tan x
单位圆中定义任意角的三角函数
实例
例1
剖析
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ,易知 AOB 解:在直角坐标系中,作 AOB 的终边与单位圆的交点坐标为
的终边
y
说 明
P( x, y )

x
A(1,0)
o (1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点
正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标,
横坐标的比值.
(2) 正弦、余弦总有意义.当
横坐标等于0,tan
y 无意义,此时 k (k z ). x 2
的终边在 y 轴上时,点P 的
19 tan 3
cos 4 sin 12 tan 6 3 6 3
cos

3 6 3 1 1 3 1 3 2 2
sin

tan
1 若a 0则r 17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin ,cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin ,cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15

3

5 3 所以 sin 3 2 y
5 3
o

A
x
﹒B
5 tan 3 3 7 5 思考:若把角 改为 呢? 3 6 7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2
5 1 cos 3 2
1 3 ( , ) 2 2
7 3 tan 6 3
1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的? P c
a
sin
cos
tan
O

b
M
a c b c a b
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a
O y

b
M
x
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 其中 : MP b sin OM a OP r MP b OM a cos 2 2 OP r a b OP r
三角函数 定义域
cos tan
sin
R
k (k Z ) 2
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
y (+) + o x ( - )( - )
sin
y ( - )( + ) o x ( - )( + ) cos
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