即 函数zz = ff(x(,xy) 在x点, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
o x0
x
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定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 对 x
的偏导数，记为 z
x xx0 , y y0
f x xx0 , y y0

2y
x2 y2 2xy 2x x2 y2 2

2
y3 x2 x2 y2
y
2
.
f
y
(
x,
y)

y

2xy x2 y2


2x
x2
y2 x2
2xy y2 2
2y

2 x3 xy2 x2 y2 2
.
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例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u

2u x2

2u y2

Hale Waihona Puke 2u z20
证：
r2
2u x2

1 r3

3 r
x
4

r x


1 r3

3x2 r5
利用对称性
,
有

2u y2


1 r3

3 y2 r5
,
2u z2


1 r3

y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如,
z

f
(x, y)

xy

x2

y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
显然
0
0 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
y2 y2 )2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)

lim y y0 y
即 x＝y＝0 时,
f x (0,0)

d dx
f
( x,0)
x

0
f y (0,0)

d dy
f
(0, y)
y

0
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备用题 设
方程
确定 u 是 x , y 的函数 ,
连续, 且
求
解:
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一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(证明略)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
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例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
zx (x0 , y0 ) ;
注意: f x (x0 , y0 ) lim f x0 x, y0 f x0, y0
f
(x0 )
lim
x 0
f
(x0x0 x)
x
f
(x0 )
xd y
dx
x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，Ax By称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By

2z y2

f y y (x, y)
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为 ( y
)

nz xn1 y
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f y (x0 , y0 ) lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , f , y y
先代后求
先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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思考与练习 P98 题 3
解答提示: P98 题 3
当 x2 y2 0 时，
f
x
(
x,
y)

x

2xy x2 y2
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
( z ) y
例5. 解:
求函数 z ex2y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2

ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2

4ex2y
3z yx2

x
(
2z ) y x
[ f (x x, y y) f (x, y y)]
[ f (x, y y) f (x, y)]
x
z 4 yex2 cos x 2 y2 .
y
3z

f x, y arc sin
y2 x
,
z x
1
1
y2 x
2

y2 x2

x
y2
x2 y4
x2

y2
;
x x2 y4
z y
x y (x)2 (y)2