30
在给定 Yt −1 的前提下 Yt 的条件期望 E(Yt Yt −1) =η +Yt −1 不是与t 无关的常数，而且因为
Yt = ε t + η + Yt −1 = ε t + ε t −1 + 2η + Yt − 2
= ε t + ε t −1 + L + tη + Y0
t i =1
= Y0 + tη + ∑ ε i
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首先检验时间序列是否属于最基本的单位根过 程，也称为随机游走过程 Yt = Yt −1 + ε t ，其中 ε t 为白噪声过程。 如果自回归模型 Yt = δYt −1 + ε t 中δ = 1，或者变换 成的回归模型 ∆Yt = λYt −1 + ε t中的 λ = 0 ，那么 时间序列{ Yt }就是最基本的单位根过程——随 机游走过程，肯定是非平稳的。 因此上述差分模型中 λ 的显著性检验，就是检 验时间序列是否存在上述单位根问题。
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图10.3 趋势平稳时间序列
1000
800
600
400
200
0 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
CAPAR
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这个问题可以通过对平稳性概念的扩展解决。 方法是把数据的趋势部分看成先分离出来，然 后根据分离趋势后的纯随机部分判定平稳性。 例如一个时间序列t 时刻的随机变量可以表示 为 Yt = α + β t + ε t ，其中ε t 是一个平稳序列， 那么该序列去掉时间趋势 α + β t 之后的部分就 是平稳的，称为“趋势平稳” 。 趋势平稳时间序列中的时间趋势既可以是线性， 也可以是非线性的。
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如果把非平稳的时间序列当作平稳序列， 事实上会破坏古典线性回归模型的基本 假设，用这样的模型进行回归，得到的 统计量都是失效的，分析、检验和预测 结果都是无效的，对计量回归分析的有 效性有很大的影响。
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非平稳时间序列的另一个问题是，虽然 这种时间序列事实上会破坏经典回归分 析的基础和有效性，但根据分析结果并 不一定能发现问题。 事实上，有时即使时间序列严重非平稳， R2 分析结果完全无效，t、F、 等指标却 仍然很正常，模型的显著性和拟合程度 看起来都很好。这种问题通常称为“伪 回归” 问题。
12
严平稳性一般情况下强于弱平稳性，但也不一 定隐含弱平稳，因为严平稳过程各随机变量的 一、二阶矩并不一定存在。 平稳的时间序列有稳定的趋势（期望）、波动 性（方差）和横向联系（协方差），可以用时 间序列的样本均值和方差推断各时点随机变量 的分布特征。 因此运用平稳时间序列数据的经典回归分析是 有效的，以往时间序列数据的计量回归分析实 际上隐含假设数据是平稳的。
4
所谓随机过程就是一系列具有顺序性和内在联 系的随机变量的集合。 随机过程一般定义为随机变量族 {X (t ), t ∈ T } ， 其中T 是给定的实数集，对应每个 t ∈ T 的 X (t ) 是随机变量。 当进一步明确参数t代表时间，T 是整数集合时， {X (t ), t = 0,±1,±称为“时间 2,L} 离散型随机过程 序列”。
第十章 伪回归和单位根
1
本章结构
第一节 时间序列及其平稳性 第二节 时间序列平稳性检验 第三节 时间序列的单积和协积
2
第一节 时间序列及其平稳性
一、时间序列数据和随机过程 二、经典计量分析和时间序列的平稳性 三、时间序列非平稳和伪回归
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一、时间序列数据和随机过程
计量经济分析中的截面数据是在同一时点抽样 统计得到的，可以理解为一个随机变量反复抽 样的结果。 时间序列数据则是在不同时间观测或统计的数 据，不能看作同一个随机变量生成的，不能看 作与截面数据一样的同一个随机变量的反复抽 样，而应该看作不同随机变量生成的，看作是 一个随机过程的一个实现。
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如图10.2 ，该时间序列数据基本上是平稳的。
4
2
0
-2
-4 200 400 Z2 600 800 1000
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多数经济时间序列有上升或下降的趋势性，而 不是围绕不变水平波动。 例如图10.3中的时间序列数据CAPAR就是有明 10.3 CAPAR 显的上升趋势的时间序列数据。 不符合平稳性定义，但围绕稳定上升趋势的形 态与平稳数据是相似的，预测作用也相似。把 这种数据排除在平稳序列之外，平稳序列的应 用价值必然受到很大限制。
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三、时间序列非平稳和伪回归
时间序列的平稳性并不总是有保证的，许多常 用的经济时间序列，如GDP、物价指数、股票 价格等，都有非平稳的特性。 例如下面图10.1中INVGM和GER两个时间序列 数据的连线图，就是经济时间序列的典型图形。 根据这两个图形很容易看出，这两个时间序列 都不符合平稳时间序列要求的稳定均值的特征， GER的图形也不满足稳定方差的基本特征，因 此这两个时间序列都是非平稳的。
8
其实并不是以时间序列数据为基础的计 量分析都会存在问题。 只要所使用的时间序列数据是平稳的， 以时间序列数据为基础的计量经济分析 就是有效的。 所谓平稳时间序列数据就是由平稳随机 过程生成的时间序列数据。
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随机过程的平稳性包括严平稳和弱平稳两种情 况。 严平稳即随机过程{Yt , t = 0, ±1, ±2,L 在任意时 } 点概率分布的特性不受时间原点改变的影响， 可以用任意m个时刻 t1 , t 2 ,L, tm 观测值Yt1 ,Yt2 ,L,Ytm 的联合概率分布，与 t1 + k , t2 + k ,L, tm + k 时刻 观测值Yt1 + k , Yt 2 + k ,L, Yt m + k 的联合概率分布相同 P (Yt1 , Yt 2 ,L, Yt m ) ＝ P(Yt +k ,Yt +k ,L,Yt +k ) 表示。 1 2 m
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二、自相关图检验
原理：平稳时间序列过程的自协方差，或由协 方差计算的自相关函数，应该很小、很快趋向 于0，具有截尾或拖尾特征 。这些特征正是判 断时间序列平稳性的重要依据。 由于自相关是相对量指标，方便横向比较和建 立一般标准，因此通常利用自相关函数进行判 断。 利用自相关函数判断时间序列平稳性的首要问 题是计算自相关函数。
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当计量分析使用的数据是时间序列数据时，情 况就会有所不同。 因为时间序列并不是一个随机变量的反复抽样， 而是随机过程的一个实现，每个数据都是特定 时间随机变量的唯一实现值，时间序列样本均 值和方差的含义与截面数据也不同，这样以随 机变量总体均值和方差的推断为基础的计量经 济分析的基础就会出现问题。
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为了区别起见，把上述模型回归分析计算的t 统计量改称为τ 统计量。 把上述回归模型计算到的τ 统计量与DF 临界值 τ 表中查到的临界值τα 比较， < τ α 时拒绝 λ = 0 的假设，认为 λ具有显著性，时间序列不服从 上述单位根过程，时间序列是平稳的。 反之则认为λ 不显著，认为时间序列服从上述 单位根过程，时间序列是非平稳的。 上述单位根检验方法就称为“迪基-富勒检验”， 简称“DF 检验”。 35
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现实应用中常采用另一种相对较弱的，使用 比较方便，比较符合计量经济分析要求的弱 平稳性或协方差平稳性。 弱平稳性即满足下列三条要求： （1）E (Yt ) = µ ； （2） (Yt ) = E (Yt − µ ) 2 = σ 2； Var （3）Cov(Yt , Yt + k ) = E[(Yt − µ )(Yt + k − µ )] = γ k。
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严平稳性隐含任意时刻随机变量的概率分布相 同，意味着各个时点随机变量均值和方差（存 在且有限时）都相同，即 E (Yt ) = µ 和 Var(Yt ) = σ 2 都与t无关，两个随机变量的协方差： Cov(Yt , Yt + k ) = E[(Yt − µ )(Yt + k − µ )] = γ k 与时间t无关，只与时间间隔k有关。 对可能存在的高阶矩也同样。 严平稳性要求是相当高的，比较难满足和证明。
5
因为时间序列数据每个时点的观测统计 值，都相当于该时点生成变量水平的一 个随机变量的一个实现值，因此整个时 间序列数据就是由各个时点的随机变量 构成的随机过程的“一个实现”。
6
二、经典计量分析和时间序列的平稳性
计量经济回归分析的参数估计及相关推断检验， 都是建立在随机变量总体均值、方差推断基础 上的。 如果使用的是截面数据，那么因为截面数据是 一个随机变量的抽样结果，因此根据中心极限 定理等，可以用截面数据的样本均值和方差推 断随机变量的总体均值和方差，以此为基础的 计量回归分析和预测是有效的。
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图10.1 非平稳时间序列数据连线图
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 36 38 40 42 44 46 INVGM 48 50 52 54
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4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 1000 2000 3000 GER 4000 5000 6000
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三、单位根检验
定义：如果随机过程中随机变量满足关系式： Yt = η + Yt −1 + ε t 或∆Yt = η + ε t 。其中 ε 是服从 t η 白噪声过程的修正项， 是常数，则称该随机 过程为一个“单位根过程” 。 上述单位根过程只是单位根过程的基本形式， 单位根过程还可以扩展到包含时间趋势项等的 多种情况。
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自相关函数最好的估计方法是样本自相关函数： γˆk ˆ ρk = γˆ0 其中：
γˆk =
∑ (Y − Y )(Y
t =1 t
n
t+k
−Y )
n
γˆ0 =