广东省汕头市潮南区峡山中学2021年数学八下期末联考试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，7AD =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长是（ ）A ．4B ．3C ．3.5D ．22．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，4=AD ，2AB =，点E 是折线BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )A ．3B ．1C ．32D ．233．为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了10名学生周阅读用时数，结果如下表：周阅读用时数(小时)4 5 8 12 学生人数(人) 3 4 2 1则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是( )A ．中位数是6.5B ．众数是1C ．平均数是3.9D ．方差是64．若kb 0>，则函数y kx b =+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．5．如图，直线y ax b =+过点()0,3A 和点()2,0B -，则方程0ax b +=的解是（ ）A ．3x =B ．2x =-C ．0x =D ．3x =-6．下列特征中，平行四边形不一定具有的是（ ）A ．邻角互补B ．对角互补C ．对角相等D ．内角和为360°7．平南县某小区5月份随机抽取了15户家庭，对其用电情况进行了统计，统计情况如下（单位：度）：78，62，95，108，87，103，99，74，87，105，88，76，76，94，79.则用电量在71~80的家庭有（ ）A ．4户B ．5户C ．6户D ．7户8．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2－6x+8=0的解，•则这个三角形的周长是（ ）．A ．8B ．8或10C ．10D ．8和109．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．若30ACB ∠=︒，10AC =，则AB 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．310．多项式x 2﹣1与多项式x 2﹣2x+1的公因式是( )A ．x ﹣1B ．x+1C ．x 2﹣1D ．(x ﹣1)2二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，1l 与2l 穿过正六边形ABCDEF ，且12l l ，则12∠-∠的度数为______.12．在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，以AB 为边在矩形外部作ABP ∆，且15ABP S ∆=，连接CP ，则AP CP +的最小值为___________．13．观察以下等式：第1个等式：101011212++⨯= 第2个等式：11112323++⨯＝1 第3个等式：12123434++⨯＝1 第4个等式：13134545++⨯＝1 …按照以下规律，写出你猜出的第n 个等式：______(用含n 的等式表示)．14．已知一等腰三角形有两边长为6，4，则这个三角形的周长为_______.15．如图，正方形ABCD 中，AB 4cm =，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上，且BF ED 3cm ==，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，点P 自A→F→B 方向运动，点Q 自C→D→E→C 方向运动若点P 、Q 的运动速度分别为1cm/s ，3cm/s ，设运动时间为(08)t t <，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时则t= ________________16．将一次函数y =2x +4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_____．17．如图，在平行四边形ABCD 中，连结AC ，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC=________ 。

18．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，AD 是△ABC 边BC 上的中线，AE ∥BC ，BE 交AD 于点E ，F 是BE 的中点，连结CE ．求证：四边形ADCE 是平行四边形．20．（6分）如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,点E 在边BC 上,DE ∥AB,设, ,AB a AE b CD c ===.(1)用向量,,a b c 表示下列向量:,,AD CE AC ;(2)求作: b a c -+ (保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法)21．（6分）如图，A ，B 是直线y =x +4与坐标轴的交点，直线y =-2x +b 过点B ，与x 轴交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）点D 是折线A —B —C 上一动点．①当点D 是AB 的中点时，在x 轴上找一点E ，使ED +EB 的和最小，用直尺和圆规画出点E 的位置（保留作图痕迹，②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由22．（8分）如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA，求直线BP的解析式.23．（8分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出如下的统计图①和图②，请跟进相关信息，解答下列问题：（1）本次抽测的男生人数为，图①中m的值为；（2）求本次抽测的这组数据的平均数、众数和中位数；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名九年级男生中有多少人体能达标．24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．25．（10分）某车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用了6天完成任务．求改进操作方法后每天加工的零件个数．26．（10分）（问题背景）且∠EAF ＝60°，试探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使GD ＝BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是 ．（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（学以致用）如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝6，E 是边AB 上一点，当∠DCE ＝45°，BE ＝2时，则DE 的长为 ．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AEB EBC ∠=∠，再根据角平分线的性质可推出AEB ABE ∠=∠，根据等角对等边可得4AB AE ==，即可求出DE 的长．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC∴AEB EBC ∠=∠∵BE 是ABC ∠的平分线∴ABE EBC ∠=∠∴AEB ABE ∠=∠∴4AB AE ==∴743DE AD AE =-=-=故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的线段长问题，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边是解题的关键．2、D【解析】【分析】分三种情况讨论：①当点E 在BC 上时，高一定，底边BE 最大时面积最大；②当E 在CD 上时，△ABE 的面积不变；③当E 在AD 上时，E 与D 重合时，△ABE 的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．【详解】解：分三种情况：①当点E 在BC 上时，E 与C 重合时，△ABE 的面积最大，如图1，过A 作AF ⊥BC 于F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠C+∠B=180°，∵∠C=120°，∴∠B=60°，Rt △ABF 中，∠BAF=30°，∴BF=12AB=1，3 ∴此时△ABE 的最大面积为：12×4×33 11③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积3综上，△ABE的面积的最大值是3故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．3、D【解析】【分析】A：根据中位数、众数、平均数以及方差的概念以及求解方法逐一求出进而进行判断即可.【详解】这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，可得4、4、4、5、5、5、5、8、8、12，∴这10名学生周阅读所用时间的中位数是：(5+5)÷2=10÷2=5，∴选项A不正确；∵这10名学生周阅读所用时间出现次数最多的是5小时，∴这10名学生周阅读所用时间的众数是5，∴选项B不正确；∵(4×3+5×4+8×2+12)÷10=60÷10=6∴这10名学生周阅读所用时间的平均数是6，∴选项C不正确；∵110×[3×(4-6)2+4×(5-6)2+2×(8-6)2+(12-6)2]=6，∴这10名学生周阅读所用时间的方差是6，∴选项D正确，故选D．本题考查了加权平均数、中位数和众数、方差等，熟练掌握相关概念以及求解方法是解题的关键.4、A【解析】【分析】根据kb>0，可知k>0，b>0或k<0，b<0，然后分情况讨论直线的位置关系．【详解】由题意可知：可知k>0，b>0或k<0，b<0，当k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限，当k<0，b<0直线经过二、三、四象限，故选(A)【点睛】本题考查一次函数的图像，解题的关键是清楚kb大小和图像的关系.5、B【解析】【分析】一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点横坐标就是kx＋b＝0的解．【详解】解：∵直线y＝ax＋b过点B（−2，0），∴方程ax＋b＝0的解是x＝−2，故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于确定已知直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标的值．6、B【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，平行四边形邻角互补，对角相等，内角和360°，而对角却不一定互补．解：根据平行四边形性质可知：A 、C 、D 均是平行四边形的性质，只有B 不是．故选B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分.7、B【解析】【分析】根据题意找出用电量在71～80的家庭即可．【详解】解：用电量在71～80的家庭有：78，74，76，76，79共5户．故选：B ．【点睛】本题主要考查了数据的收集与整理，理清题意是解题的关键．8、C【解析】【分析】【详解】解：∵2680x x +=－∴(2)(4)0x x --=，∴2x =或4x =，∴三角形的第三边为4或2，∵2+2=4不符合题意， ∴2x ≠，∴三角形的第三边为4，∴这个三角形的周长为24410++=故选C【点睛】此题做出来以后还要进行检验，三角形的三边关系满足a b c +>，所以2x =不符合此条件，应该舍去9、B【解析】由矩形的性质可得：∠ABC=90°，OA=OC=OB=OD=1，∠AOB=2∠ACB=60°，△AOB为等边三角形，故AB=OA=1．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=12AC=1，∠ABC=90°，∴∠OBC=∠ACB=30°∵∠AOB=∠OBC+∠ACB∴∠AOB=60°∵OA=OB∴△AOB是等边三角形∴AB=OA=1故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质，是基础题，比较简单.10、A【解析】【分析】【详解】x2-1=(x+1)(x-1)，x2-2x+1=(x-1)2，所以公因式是：x-1，故选A.【点睛】本题考查多项式的公因式，解题的关键是把每一个多项式都因式分解.二、填空题(每小题3分,共24分)11、60【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，求出每个内角的度数，延长EF 交直线l1于点M，利用平行线的性质把∠1 搬到∠3 处，利用三角形的外角计算出结果延长EF 交直线l1于点M，如图所示∵ABCDEF 是正六边形∴∠AFE=∠A=120°∴∠MFA=60°∵11∥12∴∠1=∠3∵∠3=∠2+∠MFA∴∠1﹣∠2=∠MFA =60°故答案为：60°【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行、内错角相等，同旁内角互补．12、10【解析】分析：由S△ABP=12AB•h=15，得出三角形的高h=5，在直线AB外作直线l∥AB，且两直线间的距离为5，延长DA至M使AM=10，则M、A关于直线l对称，连接CM，交直线l于P，连接AP、BP，则S△ABP=15，此时AP+CP=CM，根据两点之间线段最短可知AP+CP的最小值为CM；然后根据勾股定理即可求得．详解；∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，S△ABP=12AB•h=15，∴h=5，在直线AB外作直线l∥AB，且两直线间的距离为5，延长DA至M使AM=10，则M、A关于直线l对称，连接CM，交直线l于P，连接AP、BP，则S△ABP=15，此时AP+CP=CM，根据两点之间线段最短可知AP+CP的最小值为CM；∵AD=8，AM=10，∴DM=18，∵CD=6，∴2222186610DM CD +=+=∴AP+CP 的最小值为610故答案为610点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题以及勾股定理的应用，根据题意作出点E 是解题的关键．13、1n +11n n -++1n ×11n n -+＝1 【解析】【分析】观察前四个等式可得出第n 个等式的前两项为1n 及11n n -+，对比前四个等式即可写出第n 个等式，此题得解． 【详解】解：观察前四个等式，可得出：第n 个等式的前两项为1n 及11n n -+， 2211111(1)111111(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n --++--+-+++⨯=+=+==+++++++ ∴第n 个等式为1111111n n n n n n --++⨯=++ 故答案为：1n +11n n -++1n ×11n n -+＝1 【点睛】本题考查规律型中的数字的变化类，观察给定等式，找出第n 的等式是解题的关键．14、14或16.【解析】【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．(1)若4为腰长，6为底边长，由于6−4<4<6+4，即符合三角形的两边之和大于第三边.所以这个三角形的周长为6+4+4=14.(2)若6为腰长，4为底边长，由于6−6<4<6+6，即符合三角形的两边之和大于第三边.所以这个三角形的周长为6+6+4=16.故等腰三角形的周长为：14或16.故答案为：14或16.【点睛】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解题关键在于分情况讨论15、3s或6s【解析】【分析】根据两点速度和运动路径可知，点Q在EC上、点P在AF上或和点P在BC上时、点Q在AD上时，A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形．根据平行四边形性质构造方程即可．【详解】由P、Q速度和运动方向可知，当Q运动EC上，P在AF上运动时，若EQ=FP，A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形∴3t-7=5-t∴t=3当P、Q分别在BC、AD上时若QD=BP，形A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形此时Q点已经完成第一周∴4-[3（t-4）-4]=t-5+1∴t=6故答案为：3s或6s．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，动点问题的分类讨论和三角形全等有关知识．解答时注意分析两个动点的相对位置关系．16、y=2x+1分析：直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．详解：将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y=2x+4-3=2x+1；故答案为y=2x+1．点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．17、【解析】【分析】证出△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．【详解】四边形ABCD为平行四边形，CD=AB=2,BC=AD,∠D=∠ABC=∠CAD=45°AC=CD=2,∠ACD=90°△ACD为等腰直角三角形∴=.故答案是：【点睛】考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ACD是等腰直角三角形是解决问题的关键．18、1【解析】【分析】试题分析：过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面积是:12×DE×BC=12×10×3=1，故答案为1．考点：角平分线的性质．三、解答题(共66分)19、证明见解析．【解析】【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AD 是△ABC 边BC 上的中线，F 是BE 的中点，∴BF=EF ，BD=CD ，∴DF ∥CE ，∴AD ∥CE ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．20、（1）,AD a b =-CE c a =+，AC b c a =--（2）见解析.【解析】【分析】（1）AD ∥BC ，DE ∥AB ，可证得四边形ABED 是平行四边形，然后利用平行四边形法则与三角形法则求解即可求得答案；（2）首先作DF c =，连接AF ，则AF 即为所求.【详解】（1）∵AD ∥BC,DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴,,AD BE AE AB a b DE AB a ==-=-==∴;CE CD DE c a =+=+∴()()2BC BE CE b a c a b c a =-=--+=--∴()+=+--2=AC AB BC a b c a b c a =--；(2)首先作DF c =，连接AF ，则AF 即为所求.【点睛】此题考查平面向量，解题关键在于灵活运用向量的转化即可.21、（1）A(-4，0) ；B(0，4)；C(2，0)；（2）①点E 的位置见解析，E （43-，0）；②D 点的坐标为（-1，3）或（45，125） 【解析】【分析】（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A 、B 的坐标；然后把B 点坐标代入y=−2x ＋b 求出b 的值，确定此函数解析式，然后再求C 点坐标；（2）①根据轴对称—最短路径问题画出点E 的位置，由待定系数法确定直线DB 1的解析式为y=−3x−4，易得点E 的坐标；②分两种情况：当点D 在AB 上时，当点D 在BC 上时．当点D 在AB 上时，由等腰直角三角形的性质求得D 点的坐标为（−1，3）；当点D 在BC 上时，设AD 交y 轴于点F ，证△AOF 与△BOC 全等，得OF=2，点F 的坐标为（0，2），求得直线AD 的解析式为122y x =+，与y=−2x ＋4组成方程组，求得交点D 的坐标为（45，125）． 【详解】（1）在y=x +4中，令x =0，得y=4，令y =0，得x=-4，∴A(-4，0) ，B(0，4)把B(0，4)代入y=-2x+b ，得b =4，∴直线BC为：y=-2x+4在y=-2x +4中，令y =0，得x=2，∴C点的坐标为(2，0)；（2）①如图∵点D是AB的中点∴D（-2，2）点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，-4），设直线DB1的解析式为y kx b=+，把D（-2，2），B1（0，-4）代入，得224k bb-+=⎧⎨=-⎩，解得k=-3，b=-4，∴该直线为：y=-3x-4，令y=0，得x=43 -，∴E点的坐标为（43-，0）．②存在，D点的坐标为（-1，3）或（45，125）．当点D在AB上时，∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，∴△ACD是以∠ADC为直角的等腰直角三角形，∴点D的横坐标为421 2，当x=-1时，y=x+4=3，∴D点的坐标为（-1，3）；当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．∵∠FAO＋∠AFO＝∠CBO＋∠BFD，∠AFO＝∠BFD，∴∠FAO=∠CBO，又∵AO=BO，∠AOF=∠BOC，∴△AOF≌△BOC（ASA）∴OF=OC=2，∴点F的坐标为（0，2），设直线AD的解析式为y mx n=+，将A（-4，0）与F（0，2）代入得402m nn-+=⎧⎨=⎩，解得1,22m n==，∴122y x=+，联立12224y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：45125xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴D的坐标为（45，125）．综上所述：D点的坐标为（-1，3）或（45，125）【点睛】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，解题的关键是灵活运用一次函数的图象与性质以及全等的知识．22、（1）（-32，0）；（0，1）；（2）y=x+1或y=-x+1．【解析】试题分析：（1）根据坐标轴上点的坐标特征确定A点和B点坐标；（2）由OA=32，OP=2OA 得到OP=1，分类讨论：当点P 在x 轴正半轴上时，则P 点坐标为（1，0）；当点P 在x 轴负半轴上时，则P 点坐标为（-1，0），然后根据待定系数法求两种情况下的直线解析式．试题解析：（1）把x=0代入y=2x+1，得y═1，则B 点坐标为（0，1）；把y=0代入y=2x+1，得0=2x+1，解得x=-32， 则A 点坐标为（-32，0）； （2）∵OA=32， ∴OP=2OA=1，当点P 在x 轴正半轴上时，则P 点坐标为（1，0），设直线BP 的解析式为：y=kx+b ，把P （1，0），B （0，1）代入得303k b b +==⎧⎨⎩解得：1{3k b =-= ∴直线BP 的解析式为：y=-x+1；当点P 在x 轴负半轴上时，则P 点坐标为（-1，0），设直线BP 的解析式为y=kx+b ，把P （-1，0），B （0，1）代入得03{3k b b=-+= 解得:k=1，b=1所以直线BP 的解析式为：y=x+1；综上所述，直线BP 的解析式为y=x+1或y=-x+1．考点：1.一次函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法求一次函数解析式．23、（1）50、1；（2）平均数为5.16次，众数为5次，中位数为5次；（3）估计该校350名九年级男生中有2人体能达标．【解析】分析：（Ⅰ）根据4次的人数及其百分比可得总人数，用6次的人数除以总人数求得m 即可；（Ⅱ）根据平均数、众数、中位数的定义求解可得；（Ⅲ）总人数乘以样本中5、6、7次人数之和占被调查人数的比例可得．详解：（Ⅰ）本次抽测的男生人数为10÷20%=50，m%=1450×100%=1%，所以m=1．故答案为50、1；（Ⅱ）平均数为344105166147650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5.16次，众数为5次，中位数为552+=5次；（Ⅲ）1614650++×350=2．答：估计该校350名九年级男生中有2人体能达标．点睛：本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．24、（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF．（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF．根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF．∴四边形BFDE是平行四边形．25、改进操作方法后每天加工零件55个【解析】【分析】设改进技术后每天加工零件x个，则改进技术前每天加工（x﹣15）个，改进前制造80个需要的时间是8015x-天，改进技术后220个需要的时间是30080x-天，根据前后共用的时间是6天建立方程求出其解即可．【详解】解：设改进操作方法后每天加工零件的件数为x件，则改进操作方法前每天加工零件(x－15)个，依题意得8015 x-＋30080x-＝6去分母，整理，得：x2－65x＋550＝0∴x1＝10，x2＝55经检验，它们都是方程的根，但x＝10时，x－15＝－5不合题意，所以只能取x＝55答：改进操作方法后每天加工零件55个【点睛】本题考查了列分式方程解决工程问题，化为一元二次方程的分式方程的解法的运用，解答时根据前后共用的时间是6天建立方程是关键．解答分式方程需要验根不得忘记．26、【问题背景】：EF＝BE+FD；【探索延伸】：结论EF＝BE+DF仍然成立，见解析；【学以致用】：2.【解析】【分析】[问题背景]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；[探索延伸]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；[学以致用]过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长．【详解】[问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADG AB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图1，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADG AB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD1+AE1＝DE1，∴（6﹣x）1+31＝（x+3）1，解得x＝1．∴DE＝1+3＝2．故答案是：2．【点睛】此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．。